Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} - 11x - 2|x - 5| + 30$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если подмодульное выражение неотрицательно: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Функция принимает вид:
$y = x^{2} - 11x - 2(x - 5) + 30$
$y = x^{2} - 11x - 2x + 10 + 30$
$y = x^{2} - 13x + 40$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{13}{2} = 6,5$
$y_0 = (6,5)^{2} - 13 \cdot 6,5 + 40 = 42,25 - 84,5 + 40 = -2,25$
Точка стыка при $x = 5$: $y(5) = 5^{2} - 13 \cdot 5 + 40 = 25 - 65 + 40 = 0$.

2) Если подмодульное выражение отрицательно: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.
В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Функция принимает вид:
$y = x^{2} - 11x - 2(5 - x) + 30$
$y = x^{2} - 11x - 10 + 2x + 30$
$y = x^{2} - 9x + 20$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{9}{2} = 4,5$
$y_0 = (4,5)^{2} - 9 \cdot 4,5 + 20 = 20,25 - 40,5 + 20 = -0,25$
Точка стыка при $x = 5$: $y(5) = 5^{2} - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$.

Анализ графика и поиск значений $m$:
График состоит из двух кусков парабол, соединяющихся в точке $(5; 0)$.
Левая вершина находится в точке $(4,5; -0,25)$, правая вершина — в точке $(6,5; -2,25)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она будет иметь с графиком ровно три общие точки в следующих случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "вышележащей" параболы. В нашем случае это вершина левой параболы, где $y = -0,25$. Тогда прямая пересечет левую параболу в одной точке (вершине) и правую параболу в двух точках.
2) Когда прямая проходит через точку стыка парабол. В нашем случае это точка $(5; 0)$. Тогда прямая пересечет левую параболу в одной точке, правую параболу в одной точке и пройдет через общую точку стыка (итого 3 точки, так как левее $x=5$ и правее $x=5$ ветви уходят вверх).

Таким образом, условие "ровно три общие точки" выполняется при $m = -0,25$ и $m = 0$.

Ответ: -0,25; 0

Источник: ФИПИ