Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала рассмотрим вспомогательную функцию $y = x^{2} - 6x + 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).

2. Найдем координаты вершины параболы по формулам:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$;
$y_{0} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Значит, вершина находится в точке $(3; -4)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 5$. Точка $(0; 5)$.
С осью $Ox$: решим уравнение $x^{2} - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета корни $x_{1} = 1$, $x_{2} = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

4. Теперь построим график исходной функции $y = |x^{2} - 6x + 5|$.
По правилу построения графиков с модулем, та часть параболы, которая лежит ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно этой оси вверх.
Вершина параболы $(3; -4)$ перейдет в точку $(3; 4)$. Части графика, лежащие выше оси $Ox$, останутся без изменений.

5. Проанализируем количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс. Такая прямая задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
- Если $c < 0$, точек пересечения нет (0 точек).
- Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$ и имеет с графиком 2 общие точки ($x = 1$ и $x = 5$).
- Если $0 < c < 4$, прямая пересекает график в 4 точках (две точки на "отраженной" части и две на внешних ветвях).
- Если $c = 4$, прямая проходит через вершину $(3; 4)$ и имеет с графиком 3 общие точки.
- Если $c > 4$, прямая пересекает только две внешние ветви параболы (2 точки).

6. Таким образом, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ