Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC = a$ (меньшее) и $AD = b$ (большее), боковыми сторонами $AB = CD = c$.
По условию в трапецию можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны: $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.

2) Периметр трапеции равен $P = a + b + 2c = 200$.
Заменим $a + b$ на $2c$:
$2c + 2c = 200$
$4c = 200$
$c = 50$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2c = 100$.

3) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Подставим известные значения:
$1500 = \frac{100}{2} \cdot h$
$1500 = 50 \cdot h$
$h = 30$.

4) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а углы $OCB$ и $OAD$ накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$).
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{a}{b}$.

5) Пусть $h_1$ — высота треугольника $BOC$, опущенная из точки $O$ на основание $BC$, а $h_2$ — высота треугольника $DOA$, опущенная из точки $O$ на основание $AD$.
Тогда $h_1 + h_2 = h = 30$. Из подобия треугольников следует, что их высоты относятся так же, как и основания: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b}$.
Отсюда $h_1 = \frac{a}{a + b} \cdot h$.

6) Найдём длины оснований $a$ и $b$. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH = \frac{b - a}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$
$AH = 40$.
Тогда $\frac{b - a}{2} = 40$, откуда $b - a = 80$.
Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} b + a = 100 \\ b - a = 80 \end{cases}$
Складывая уравнения, получим $2b = 180$, то есть $b = 90$. Тогда $a = 100 - 90 = 10$.

7) Вычислим искомое расстояние $h_1$ от точки $O$ до меньшего основания $BC$:
$h_1 = \frac{a}{a + b} \cdot h = \frac{10}{100} \cdot 30 = \frac{1}{10} \cdot 30 = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ