Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. По условию, расстояние от центра $O$ этой окружности до прямой $AC$ равно 7. Так как прямая $AC$ содержит сторону треугольника, то это расстояние и есть радиус вписанной окружности: $r = 7$.

2) Рассмотрим треугольник $AOC$. Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AC$. Тогда $OH = r = 7$. Из прямоугольного треугольника $AOH$ по теореме Пифагора найдем $AH$:
$AH = \sqrt{AO^2 - OH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

3) Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC$. Обозначим $\angle OAH = \angle OAB = \alpha$. Тогда весь угол параллелограмма $\angle A = \angle DAB$.
Из треугольника $AOH$: $\sin \alpha = \frac{OH}{AO} = \frac{7}{25}$, $\cos \alpha = \frac{AH}{AO} = \frac{24}{25}$.

4) Пусть $OK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $AD$. По условию $OK = 15$.
Заметим, что расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ также равно $r = 7$, так как $AB$ — сторона треугольника $ABC$, в который вписана окружность.
Пусть $\angle OAK = \beta$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AOK$: $\sin \beta = \frac{OK}{AO} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$. Следовательно, $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.

5) Угол параллелограмма $\angle DAB = \alpha + \beta$ (так как точка $O$ лежит внутри угла $DAB$).
Найдем синус угла $A$:
$\sin A = \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} + \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{28 + 72}{125} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5} = 0,8$.

6) Найдем синус угла $BAC$. Так как $AO$ — биссектриса этого угла, то $\angle BAC = 2\alpha$.
$\sin \angle BAC = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.

7) В треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности $r = \frac{S_{ABC}}{p}$, где $p$ — полупериметр. Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 2\alpha$.
С другой стороны, расстояние от $O$ до $AB$ равно 7, до $AC$ равно 7, а до $BC$ равно 7.
Воспользуемся формулой $r = (p - a) \tan(\alpha)$, где $a = BC$. Но проще найти стороны через углы.
В треугольнике $ABC$: $AB = \frac{r}{\tan \alpha} + \frac{r}{\tan(B/2)}$.
Заметим, что высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $B$ на $AC$, равна $h_b = AB \sin 2\alpha$.
Расстояние от $O$ до $AD$ равно 15. Расстояние от $AC$ до $AD$ равно $AH \sin(\angle CAD)$.
Проще: высота параллелограмма $H = AB \sin A$. Площадь $S = AD \cdot AB \sin A$.
Из свойств вписанной окружности: $AH = p - BC = 24$. Тогда $p = 24 + BC$.
$S_{ABC} = r \cdot p = 7(24 + BC)$.
Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC}$. В параллелограмме $BC = AD$.
Пусть $h_1$ — расстояние от $O$ до $AD$ (равно 15), $h_2$ — расстояние от $O$ до $BC$ (равно $r = 7$). Так как $AD \parallel BC$, высота параллелограмма $H = h_1 + h_2 = 15 + 7 = 22$.
Тогда $S_{ABCD} = BC \cdot H = 22 \cdot BC$.
Площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 11 \cdot BC$.
Подставим в формулу $S_{ABC} = 7(24 + BC)$:
$11 \cdot BC = 168 + 7 \cdot BC$
$4 \cdot BC = 168$
$BC = 42$.

8) Находим искомую площадь:
$S_{ABCD} = 22 \cdot 42 = 924$.

Ответ: 924

Источник: ФИПИ