Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC$ (меньшее) и $AD$ (большее), боковыми сторонами $AB = CD$. Обозначим $BC = a$, $AD = b$, $AB = CD = c$.

2) По свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны: $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.
Периметр трапеции равен $P = a + b + 2c = 120$.
Заменяя $a + b$ на $2c$, получаем: $2c + 2c = 120$, откуда $4c = 120$, значит, боковая сторона $c = 30$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2 \cdot 30 = 60$.

3) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Подставим известные значения: $540 = \frac{60}{2} \cdot h$, то есть $540 = 30h$.
Отсюда высота трапеции $h = \frac{540}{30} = 18$.

4) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Проведём через точку $O$ высоту трапеции $KH$, где точка $K$ лежит на меньшем основании $BC$, а точка $H$ — на большем основании $AD$. Отрезок $OK$ — это искомое расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

5) Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а углы $CBO$ и $ADO$ накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$).
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{a}{b}$. Высоты подобных треугольников, опущенные из вершины $O$, относятся так же, как и их основания: $\frac{OK}{OH} = \frac{a}{b}$.

6) Найдём длины оснований $a$ и $b$. Проведём высоту $BE$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABE$: $AB = 30$, $BE = h = 18$.
По теореме Пифагора: $AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$.
Так как трапеция равнобедренная, $AE = \frac{b - a}{2}$, значит $b - a = 2 \cdot 24 = 48$.
Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} b + a = 60 \\ b - a = 48 \end{cases}$
Складывая уравнения, получим $2b = 108$, откуда $b = 54$. Тогда $a = 60 - 54 = 6$.

7) Вернёмся к подобию: $\frac{OK}{OH} = \frac{a}{b} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$.
Пусть $OK = x$, тогда $OH = 9x$.
Так как $OK + OH = h = 18$, получаем: $x + 9x = 18$, то есть $10x = 18$.
Отсюда $x = 1,8$.

Ответ: 1,8

Источник: ФИПИ