Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2) Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин равны, то точка $M$ является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника, а отрезки $MA, MB, MC, MD$ являются её радиусами. Обозначим радиус этой окружности как $R$. Тогда сторона $AD$ является диаметром этой окружности, так как $M$ — середина $AD$ и $MA = MD = R$, следовательно, $AD = 2R$.

3) Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
- в $\triangle AMB$: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$;
- в $\triangle BMC$: $\angle MBC = \angle MCB = \beta$;
- в $\triangle CMD$: $\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

4) Согласно условию задачи, углы четырёхугольника равны:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 94^\circ$;
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 131^\circ$.

5) Сумма углов выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равна $360^\circ$. Запишем это через введённые углы:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$
$\alpha + 94^\circ + 131^\circ + \gamma = 360^\circ$
$\alpha + \gamma + 225^\circ = 360^\circ$
$\alpha + \gamma = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$.

6) Теперь найдём угол $\beta$. Сложим уравнения для углов $B$ и $C$:
$(\alpha + \beta) + (\beta + \gamma) = 94^\circ + 131^\circ$
$\alpha + \gamma + 2\beta = 225^\circ$
Подставим найденное значение $\alpha + \gamma = 135^\circ$:
$135^\circ + 2\beta = 225^\circ$
$2\beta = 225^\circ - 135^\circ = 90^\circ$
$\beta = 45^\circ$.

7) Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы знаем, что он равнобедренный ($MB = MC = R$) и угол при его основании $\beta = 45^\circ$. Тогда угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle BMC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

8) По теореме Пифагора для $\triangle BMC$:
$BC^2 = MB^2 + MC^2$
$3^2 = R^2 + R^2$
$9 = 2R^2$
$R^2 = 4,5$
$R = \sqrt{4,5} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

9) Найдём длину стороны $AD$:
$AD = 2R = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ