Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 28 : 2 = 14$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Пусть эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) Рассмотрим треугольник $MDK$. По условию $DK$ — биссектриса угла $ADC$, значит, $\angle ADK = \angle KDC$. Так как $MK \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $DK$ равны: $\angle ADK = \angle MKD$. Следовательно, $\angle KDC = \angle MKD$. Это означает, что треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $DK$, и его боковые стороны равны: $MK = CK$.

3) Так как $MK$ — средняя линия трапеции, точка $K$ является серединой стороны $CD$. Значит, $CK = KD = 35 : 2 = 17,5$. Тогда и $MK = 17,5$.

4) По формуле средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $17,5 = \frac{7 + AD}{2}$. Отсюда $35 = 7 + AD$, то есть $AD = 28$.

5) Заметим, что в трапеции $ABCD$ стороны $AB = 28$ и $AD = 28$. Проведём высоты $BH$ и $CP$ к нижнему основанию $AD$. Пусть $AH = x$. Тогда $PD = AD - BC - x = 28 - 7 - x = 21 - x$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCP$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h = BH = CP$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 28^2 - x^2$
$h^2 = CD^2 - PD^2 = 35^2 - (21 - x)^2$

6) Приравняем выражения: $784 - x^2 = 1225 - (441 - 42x + x^2)$.
$784 - x^2 = 1225 - 441 + 42x - x^2$
$784 = 784 + 42x$
$42x = 0$, следовательно, $x = 0$.
Это означает, что точка $H$ совпадает с точкой $A$, и сторона $AB$ перпендикулярна основанию $AD$. Трапеция является прямоугольной, а её высота $h = AB = 28$.

7) Найдём площадь трапеции по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$.
$S = \frac{7 + 28}{2} \cdot 28 = 17,5 \cdot 28 = 490$.

Ответ: 490

Источник: ФИПИ