Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение, задающее функцию, и определим область её определения.
Функция имеет вид: $y = \frac{3,5 |x| - 1}{|x| - 3,5 x^{2}}$.
Заметим, что $x^{2} = |x|^{2}$. Тогда знаменатель можно переписать:
$y = \frac{3,5 |x| - 1}{|x| - 3,5 |x|^{2}}$.
Вынесем $-|x|$ за скобки в знаменателе:
$y = \frac{3,5 |x| - 1}{-|x|(3,5 |x| - 1)}$.

2. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$;
$3,5 |x| - 1 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{3,5} \Rightarrow |x| \neq \frac{2}{7} \Rightarrow x \neq \pm \frac{2}{7}$.
При условии $x \neq 0$ и $x \neq \pm \frac{2}{7}$ мы можем сократить дробь на $(3,5 |x| - 1)$:
$y = -\frac{1}{|x|}$.

3. Построим график функции $y = -\frac{1}{|x|}$ с учётом выколотых точек.
Если $x > 0$, то $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
Если $x < 0$, то $y = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в III четверти.
График симметричен относительно оси $Oy$.
Вычислим координаты «выколотых» точек:
При $x = \frac{2}{7}$, $y = -\frac{1}{2/7} = -3,5$. Точка $(\frac{2}{7}; -3,5)$.
При $x = -\frac{2}{7}$, $y = -\frac{1}{|-2/7|} = -3,5$. Точка $(-\frac{2}{7}; -3,5)$.

4. Определим значения $k$, при которых прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат.
Случай 1: Прямая проходит через выколотые точки.
Подставим координаты точки $(\frac{2}{7}; -3,5)$:
$-3,5 = k \cdot \frac{2}{7} \Rightarrow -\frac{7}{2} = k \cdot \frac{2}{7} \Rightarrow k = -\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{49}{4} = -12,25$.
Подставим координаты точки $(-\frac{2}{7}; -3,5)$:
$-3,5 = k \cdot (-\frac{2}{7}) \Rightarrow k = 12,25$.
Случай 2: Прямая не пересекает ветви гиперболы.
Прямая $y = kx$ не имеет общих точек с графиком $y = -\frac{1}{|x|}$, если уравнение $kx = -\frac{1}{|x|}$ не имеет решений.
Если $k = 0$, прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не пересекает график, так как гипербола к ней только приближается.
Если $k > 0$, прямая $y = kx$ лежит в I и III четвертях. В III четверти она всегда пересечет ветвь $y = \frac{1}{x}$, кроме случая прохождения через выколотую точку.
Если $k < 0$, прямая $y = kx$ лежит в II и IV четвертях. В IV четверти она всегда пересечет ветвь $y = -\frac{1}{x}$, кроме случая прохождения через выколотую точку.
Однако, при любых $k \neq 0$ прямая $y = kx$ обязательно пересекает одну из ветвей гиперболы $y = -\frac{1}{|x|}$ (так как прямая уходит в бесконечность быстрее или медленнее гиперболы). Единственное исключение — когда точка пересечения совпадает с «выколотой» точкой или когда прямая горизонтальна ($k=0$).

Таким образом, прямая не имеет общих точек, если она проходит через выколотые точки или если она совпадает с осью абсцисс (но $k=0$ в данном случае не подходит, так как при $k=0$ прямая $y=0$ не пересекает график $y = -1/|x|$ вообще, что нам и нужно).

Ответ: -12,25; 0; 12,25

Источник: ФИПИ