Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 4$ , $B C = 2$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ . Так как $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$ ).

2) Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$ . Подставим известные значения: $\frac{KB}{KA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $KA$ , то есть $KB = BA$ .

3) По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $E$ . По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки ( $K$ ) к окружности: $KE^2 = KC \cdot KD$ .

4) Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EH$ к прямой $CD$ . Длина этого перпендикуляра и есть искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$ . В нем $\sin \angle EKH = \frac{EH}{KE}$ , откуда $EH = KE \cdot \sin \angle EKH$ .

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $KBC$ . В нем $\sin \angle BKC = \frac{BC}{KC}$ . Заметим, что углы $\angle EKH$ и $\angle BKC$ — это один и тот же угол при вершине $K$ . Значит, $\sin \angle EKH = \frac{BC}{KC}$ .

6) Подставим выражение для синуса в формулу для $EH$ :
$EH = KE \cdot \frac{BC}{KC}$ .
Возведем это выражение в квадрат: $EH^2 = KE^2 \cdot \frac{BC^2}{KC^2}$ .

7) Заменим $KE^2$ на $KC \cdot KD$ (из шага 3):
$EH^2 = (KC \cdot KD) \cdot \frac{BC^2}{KC^2} = \frac{KD \cdot BC^2}{KC}$ .
Так как треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны с коэффициентом $k = \frac{AD}{BC} = \frac{4}{2} = 2$ , то $KD = 2 \cdot KC$ .

8) Подставим $KD = 2 \cdot KC$ в формулу для $EH^2$ :
$EH^2 = \frac{2 \cdot KC \cdot BC^2}{KC} = 2 \cdot BC^2$ .
$EH^2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ .
Следовательно, $EH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Ответ: $2\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ