Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle KAD + \angle KDA = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, поэтому треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные). Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{BK}{AK} = \frac{BC}{AD}$.
Пусть $BK = x$. Тогда $AK = AB + BK = 7 + x$. Подставим известные значения:
$\frac{x}{7 + x} = \frac{24}{32}$.
Сократим дробь $\frac{24}{32}$ на 8, получим $\frac{3}{4}$.
Решим уравнение: $4x = 3(7 + x)$, откуда $4x = 21 + 3x$, значит $x = 21$.
Таким образом, $BK = 21$, а $AK = 21 + 7 = 28$.

3) Окружность проходит через точки $A$ и $B$. Это значит, что прямая $AK$, содержащая отрезок $AB$, является секущей для этой окружности. По условию окружность касается прямой $CD$ (или прямой $KD$) в некоторой точке $T$. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки:
$KT^2 = KB \cdot KA$.
Подставим найденные длины: $KT^2 = 21 \cdot 28 = 21 \cdot (7 \cdot 4) = (3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 4 = 3 \cdot 49 \cdot 4 = 588$.
$KT = \sqrt{588} = \sqrt{196 \cdot 3} = 14\sqrt{3}$.

4) Введем систему координат или воспользуемся геометрическим методом. Центр окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$. Тогда $KM = KB + BM = 21 + 3,5 = 24,5$.
Радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $KD$. Так как $\angle AKD = 90^\circ$, то $OT \parallel AK$ и $OM \parallel KT$.
Четырехугольник $MOTK$ является прямоугольником (все его углы прямые). В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит:
$R = OT = KM = 24,5$.

Ответ: 24,5

Источник: ФИПИ