Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -3$ функция имеет вид $y = x^2 + 4x + 4$.
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 2)^2$.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$.
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -3$, $y = (-3 + 2)^2 = 1$. Точка $(-3; 1)$ принадлежит графику.
Дополнительные точки для построения: при $x = -1$, $y = 1$; при $x = 0$, $y = 4$.

2) На промежутке $x < -3$ функция имеет вид $y = -\frac{3}{x}$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$).
Найдём значение функции при приближении к границе: при $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$.
Так как значения обеих частей функции в точке $x = -3$ совпали ($1 = 1$), график будет непрерывным.
Дополнительные точки для гиперболы: при $x = -6$, $y = 0,5$; при $x = -1,5$ (не входит в область, но помогает понять направление), $y = 2$.

3) Построим график. Он состоит из части гиперболы, идущей от оси $x$ (асимптота $y=0$) до точки $(-3; 1)$, и части параболы с вершиной в $(-2; 0)$, уходящей в бесконечность вправо и вверх.

4) Определим количество общих точек с прямой $y = m$. Это горизонтальная прямая.
- При $m < 0$: прямая проходит ниже графика, общих точек нет.
- При $m = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$. Она является асимптотой для гиперболы (не пересекает её) и касается вершины параболы в точке $(-2; 0)$. Значит, одна общая точка.
- При $0 < m < 1$: прямая пересекает ветвь гиперболы и две ветви параболы. Итого 3 точки.
- При $m = 1$: прямая проходит через точку стыка $(-3; 1)$ и через точку параболы $(-1; 1)$. Итого две общие точки.
- При $m > 1$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола на этом участке не существует, а левая ветвь параболы ограничена точкой $x = -3$). Значит, одна общая точка.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$, $m = 1$ и $m > 1$. Объединяя последние два условия, получаем $m \geq 1$.

Ответ: $m = 0$; $m \geq 1$.

Источник: ФИПИ