Задание №22 — Алгебраические выражения

#48418Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = x^{2} + 4 x + 4 \text{ при } x \geq - 3, \\ - \frac{3}{x} \text{ при } x < - 3. \end{array}\right.$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -3$ функция имеет вид $y = x^2 + 4x + 4$ .
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 2)^2$ .
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$ .
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -3$ , $y = (-3 + 2)^2 = 1$ . Точка $(-3; 1)$ принадлежит графику.
Дополнительные точки для построения: при $x = -1$ , $y = 1$ ; при $x = 0$ , $y = 4$ .

2) На промежутке $x < -3$ функция имеет вид $y = -\frac{3}{x}$ .
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$ ).
Найдём значение функции при приближении к границе: при $x = -3$ , $y = -\frac{3}{-3} = 1$ .
Так как значения обеих частей функции в точке $x = -3$ совпали ( $1 = 1$ ), график будет непрерывным.
Дополнительные точки для гиперболы: при $x = -6$ , $y = 0,5$ ; при $x = -1,5$ (не входит в область, но помогает понять направление), $y = 2$ .

3) Построим график. Он состоит из части гиперболы, идущей от оси $x$ (асимптота $y=0$ ) до точки $(-3; 1)$ , и части параболы с вершиной в $(-2; 0)$ , уходящей в бесконечность вправо и вверх.

4) Определим количество общих точек с прямой $y = m$ . Это горизонтальная прямая.
- При $m < 0$ : прямая проходит ниже графика, общих точек нет.
- При $m = 0$ : прямая совпадает с осью $Ox$ . Она является асимптотой для гиперболы (не пересекает её) и касается вершины параболы в точке $(-2; 0)$ . Значит, одна общая точка.
- При $0 < m < 1$ : прямая пересекает ветвь гиперболы и две ветви параболы. Итого 3 точки.
- При $m = 1$ : прямая проходит через точку стыка $(-3; 1)$ и через точку параболы $(-1; 1)$ . Итого две общие точки.
- При $m > 1$ : прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола на этом участке не существует, а левая ветвь параболы ограничена точкой $x = -3$ ). Значит, одна общая точка.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$ , $m = 1$ и $m > 1$ . Объединяя последние два условия, получаем $m \geq 1$ .

Ответ: $m = 0$ ; $m \geq 1$ .

Источник: ФИПИ