Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как $MA = MB = MC = MD$, то точка $M$ является центром окружности, описанной около четырёхугольника $ABCD$. Отрезки $MA, MB, MC$ и $MD$ являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус через $R$. Тогда $AD = 2R$, так как $M$ — середина $AD$, и $AD$ является диаметром этой окружности.

3. Рассмотрим треугольники $AMB, BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
$\angle MAB = \angle MBA = \alpha$,
$\angle MBC = \angle MCB = \beta$,
$\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

4. Выразим углы $B$ и $C$ четырёхугольника через введённые углы:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 124^{\circ}$,
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 116^{\circ}$.

5. Сумма углов четырёхугольника, вписанного в окружность, диаметром которой является одна из его сторон, может быть найдена через сумму углов треугольников. Сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна $360^{\circ}$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$.
Подставим известные значения и выражения:
$\alpha + 124^{\circ} + 116^{\circ} + \gamma = 360^{\circ}$,
$\alpha + \gamma + 240^{\circ} = 360^{\circ}$,
$\alpha + \gamma = 120^{\circ}$.

6. Теперь у нас есть система уравнений:
1) $\alpha + \beta = 124^{\circ}$
2) $\beta + \gamma = 116^{\circ}$
3) $\alpha + \gamma = 120^{\circ}$
Сложим первое и второе уравнения: $\alpha + 2\beta + \gamma = 124^{\circ} + 116^{\circ} = 240^{\circ}$.
Подставим сюда $\alpha + \gamma = 120^{\circ}$:
$120^{\circ} + 2\beta = 240^{\circ}$,
$2\beta = 120^{\circ}$,
$\beta = 60^{\circ}$.

7. Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы выяснили, что он равнобедренный ($MB = MC = R$) и угол при его основании $\beta = 60^{\circ}$. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен $60^{\circ}$, то такой треугольник является равносторонним. Следовательно, $BC = MB = MC = R$.

8. По условию $BC = 6$, значит, радиус $R = 6$. Тогда сторона $AD$, являющаяся диаметром, равна:
$AD = 2R = 2 \cdot 6 = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ