Задание №25 — Геометрия

#48419Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Середина $M$ стороны $A D$ выпуклого четырёхугольника $A B C D$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $A D$ , если $B C = 6$ , а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $124 °$ и $116 °$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$ .

2. Так как $MA = MB = MC = MD$ , то точка $M$ является центром окружности, описанной около четырёхугольника $ABCD$ . Отрезки $MA, MB, MC$ и $MD$ являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус через $R$ . Тогда $AD = 2R$ , так как $M$ — середина $AD$ , и $AD$ является диаметром этой окружности.

3. Рассмотрим треугольники $AMB, BMC$ и $CMD$ . Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$ . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
$\angle MAB = \angle MBA = \alpha$ ,
$\angle MBC = \angle MCB = \beta$ ,
$\angle MCD = \angle MDC = \gamma$ .

4. Выразим углы $B$ и $C$ четырёхугольника через введённые углы:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 124^{\circ}$ ,
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 116^{\circ}$ .

5. Сумма углов четырёхугольника, вписанного в окружность, диаметром которой является одна из его сторон, может быть найдена через сумму углов треугольников. Сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна $360^{\circ}$ :
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$ .
Подставим известные значения и выражения:
$\alpha + 124^{\circ} + 116^{\circ} + \gamma = 360^{\circ}$ ,
$\alpha + \gamma + 240^{\circ} = 360^{\circ}$ ,
$\alpha + \gamma = 120^{\circ}$ .

6. Теперь у нас есть система уравнений:
1) $\alpha + \beta = 124^{\circ}$
2) $\beta + \gamma = 116^{\circ}$
3) $\alpha + \gamma = 120^{\circ}$
Сложим первое и второе уравнения: $\alpha + 2\beta + \gamma = 124^{\circ} + 116^{\circ} = 240^{\circ}$ .
Подставим сюда $\alpha + \gamma = 120^{\circ}$ :
$120^{\circ} + 2\beta = 240^{\circ}$ ,
$2\beta = 120^{\circ}$ ,
$\beta = 60^{\circ}$ .

7. Рассмотрим треугольник $BMC$ . Мы выяснили, что он равнобедренный ( $MB = MC = R$ ) и угол при его основании $\beta = 60^{\circ}$ . Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен $60^{\circ}$ , то такой треугольник является равносторонним. Следовательно, $BC = MB = MC = R$ .

8. По условию $BC = 6$ , значит, радиус $R = 6$ . Тогда сторона $AD$ , являющаяся диаметром, равна:
$AD = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ .

Ответ: 12

Источник: ФИПИ