Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $BC$. Углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$.
Подставим известные значения сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{39}{6} = \frac{13}{2} = 6,5$.
Пусть $DK = 2x$, тогда $AK = 13x$. Пусть $CK = 2y$, тогда $BK = 13y$.

3) Рассмотрим треугольник $AKB$. По условию $\angle AKB = 60^\circ$. Применим теорему косинусов для стороны $AB$:
$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos 60^\circ$.
$39^2 = (13x)^2 + (13y)^2 - 2 \cdot 13x \cdot 13y \cdot \frac{1}{2}$.
$1521 = 169x^2 + 169y^2 - 169xy$.
Разделим обе части уравнения на $169$:
$9 = x^2 + y^2 - xy$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ является смежным с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для стороны $BC$ в треугольнике $BKC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos 120^\circ$.
Так как $\cos 120^\circ = -0,5$, получаем:
$BC^2 = (13y)^2 + (2y)^2 - 2 \cdot 13y \cdot 2y \cdot (-0,5)$ — это не совсем верно, так как мы выразили стороны через разные переменные $x$ и $y$. Вернемся к треугольнику $DKC$.
В треугольнике $DKC$ угол $\angle DKC = \angle AKB = 60^\circ$ (как вертикальные).
$CD^2 = DK^2 + CK^2 - 2 \cdot DK \cdot CK \cdot \cos 60^\circ$.
$6^2 = (2x)^2 + (2y)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot \frac{1}{2}$.
$36 = 4x^2 + 4y^2 - 4xy$.
Разделим на $4$: $9 = x^2 + y^2 - xy$. Это подтверждает наши вычисления.

5) Найдем сторону $BC$. В треугольнике $BKC$ угол $\angle BKC = 120^\circ$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos 120^\circ = (13y)^2 + (2y)^2 - 2 \cdot 13y \cdot 2y \cdot (-0,5) = 169y^2 + 4y^2 + 26y^2 = 199y^2$.
Аналогично в треугольнике $AKD$ угол $\angle AKD = 120^\circ$:
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos 120^\circ = (13x)^2 + (2x)^2 - 2 \cdot 13x \cdot 2x \cdot (-0,5) = 169x^2 + 4x^2 + 26x^2 = 199x^2$.

6) Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника $ABC$. Радиус $R$ описанной окружности равен:
$R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC}$.
Из треугольника $AKB$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{BK}{\sin \angle BAC}$, откуда $\sin \angle BAC = \frac{BK \cdot \sin 60^\circ}{AB} = \frac{13y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{39} = \frac{y\sqrt{3}}{6}$.
Подставим $BC = \sqrt{199}y$ и $\sin \angle BAC$ в формулу радиуса:
$R = \frac{\sqrt{199}y}{2 \cdot \frac{y\sqrt{3}}{6}} = \frac{\sqrt{199}y \cdot 6}{2y\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{199}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{199} = \sqrt{597}$.
Однако, есть более простой путь через теорему косинусов в треугольнике $BKC$, если заметить, что для нахождения $R$ нам нужно отношение стороны к синусу противолежащего угла.
Заметим, что в треугольнике $AKB$: $x^2 + y^2 - xy = 9$.
Рассмотрим треугольник $ADC$. По теореме синусов $CD = 2R \sin \angle CAD$.
В треугольнике $AKD$: $AD^2 = 169x^2 + 4x^2 + 26x^2 = 199x^2$.
В треугольнике $AKB$: $\sin \angle KAB / BK = \sin 60^\circ / 39 \Rightarrow \sin \angle KAB = \frac{13y \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 39} = \frac{y\sqrt{3}}{6}$.
В треугольнике $ABC$: $R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC} = \frac{\sqrt{199}y}{2 \cdot \frac{y\sqrt{3}}{6}} = \sqrt{597}$.

7) Проверим вычисления. Пусть $x=y$, тогда $x^2 = 9$, $x=3$.
$AB^2 = 169 \cdot 9 + 169 \cdot 9 - 169 \cdot 9 = 169 \cdot 9 = (13 \cdot 3)^2 = 39^2$. Верно.
$BC^2 = 13^2 \cdot 3^2 + 2^2 \cdot 3^2 + 13 \cdot 2 \cdot 3^2 = 9(169 + 4 + 26) = 9 \cdot 199$.
$\sin \angle BAC = \frac{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 39} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$R = \frac{\sqrt{9 \cdot 199}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{199}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3 \cdot 199} = \sqrt{597}$.

Ответ: $\sqrt{597}$

Источник: ФИПИ