Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Поскольку $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $AB \perp AD$. Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна обоим основаниям трапеции.

2) Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAD$. Они подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$). Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$. Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Пусть $KC = 3x$, тогда $KD = 4x$. Следовательно, отрезок $CD = KD - KC = 4x - 3x = x$.

3) По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. $KE^2 = KC \cdot KD$. Подставим наши обозначения: $KE^2 = 3x \cdot 4x = 12x^2$. Отсюда $KE = \sqrt{12x^2} = 2x\sqrt{3}$.

4) Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$) как $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$. В нём $\sin(\angle EKH) = \frac{EH}{KE} = \frac{h}{2x\sqrt{3}}$.

5) С другой стороны, из прямоугольного треугольника $KBC$ (где $\angle KBC = 90^\circ$): $\cos(\angle BKC) = \frac{BC}{KC} = \frac{9}{3x} = \frac{3}{x}$. Тогда $\sin(\angle BKC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle BKC)} = \sqrt{1 - \frac{9}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}$. Заметим, что $\angle BKC$ и $\angle EKH$ — это один и тот же угол.

6) Однако проще выразить синус через стороны треугольника $KBC$, используя теорему Пифагора. В $\triangle KBC$: $KB^2 = KC^2 - BC^2 = (3x)^2 - 9^2 = 9x^2 - 81$. Тогда $\sin(\angle BKC) = \frac{BC}{KC}$ — неверно, так как $KC$ гипотенуза. Правильно: $\sin(\angle BKC) = \frac{BC}{KC}$ — это косинус. Вернемся к определению: в $\triangle KBC$ $\sin(\angle BKC) = \frac{BC}{KC}$ — это неверно. Пусть $\alpha = \angle BKC$. Тогда в $\triangle KBC$: $\cos \alpha = \frac{KB}{KC}$, $\sin \alpha = \frac{BC}{KC} = \frac{9}{3x} = \frac{3}{x}$.

7) Теперь приравняем выражения для синуса угла $K$ из шагов 4 и 6: $\frac{h}{2x\sqrt{3}} = \frac{3}{x}$. Умножим обе части уравнения на $2x\sqrt{3}$: $h = \frac{3 \cdot 2x\sqrt{3}}{x} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ