Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -2$ функция имеет вид $y = x^2 - 2x + 1$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Заметим, что выражение можно представить как полный квадрат: $y = (x - 1)^2$.
Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$; $y_0 = (1 - 1)^2 = 0$. Точка $(1; 0)$ — вершина.
Найдём значение функции на границе участка: при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$. Точка $(-2; 9)$ входит в график.
Дополнительные точки для точности: при $x = 0$, $y = 1$; при $x = 2$, $y = 1$; при $x = 3$, $y = 4$.

2) На промежутке $x < -2$ функция имеет вид $y = -\frac{18}{x}$.
Это обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Нас интересует только ветвь при $x < -2$.
Найдём значение функции вблизи границы: при $x \to -2$, $y \to -\frac{18}{-2} = 9$. Точка $(-2; 9)$ является "выколотой" для этой части графика, но так как она совпадает с точкой первой части, график будет непрерывным.
Дополнительные точки: при $x = -3$, $y = 6$; при $x = -6$, $y = 3$; при $x = -9$, $y = 2$.

3) Исследуем количество пересечений графика с горизонтальной прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ параллельна оси $Ox$.
— При $m < 0$: прямая проходит ниже оси $Ox$, общих точек с графиком нет.
— При $m = 0$: прямая касается вершины параболы в точке $(1; 0)$. Имеется одна общая точка.
— При $0 < m < 9$: прямая пересекает ветвь гиперболы (один раз) и две ветви параболы (два раза). Итого три общие точки.
— При $m = 9$: прямая проходит через точку стыка $(-2; 9)$ и пересекает правую ветвь параболы. Итого две общие точки.
— При $m > 9$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола на этом участке стремится к оси $Ox$, а левая ветвь параболы ограничена точкой стыка). Итого одна общая точка.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$, $m = 9$ и $m > 9$. Объединяя условия для $m$, получаем $m = 0$ и $m \geq 9$.

Ответ: $0; [9; +\infty)$

Источник: ФИПИ