Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим высоту $AD$ треугольника $ABC$. По условию точка $M$ лежит на этой высоте. Найдём длину отрезка $AM$. Так как $AD = 45$ и $MD = 15$, то:
$AM = AD - MD = 45 - 15 = 30$.

2) Пусть полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BPC$ и $\angle BKC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$). Следовательно, $CP$ и $BK$ — высоты треугольника $ABC$.

3) Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Значит, высоты $AD$, $BK$ и $CP$ пересекаются в точке $H$. Заметим, что точка $D$ лежит на диаметре $BC$, а отрезок $AD$ перпендикулярен $BC$. Вспомним свойство пересекающихся хорд (или свойство произведения отрезков секущих). Если продолжить полуокружность до полной окружности, то высота $AD$ при продолжении пересечёт её в точке $M'$ такой, что $MD = DM'$. Но в данной задаче удобнее воспользоваться свойством прямоугольного треугольника или степенью точки.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике (или из прямоугольного треугольника $BMC$, где $\angle BMC = 90^\circ$, так как он опирается на диаметр), квадрат высоты $MD$ равен произведению отрезков гипотенузы:
$MD^2 = BD \cdot DC$.
Подставим значение $MD = 15$:
$15^2 = BD \cdot DC = 225$.

5) Рассмотрим треугольники $BDH$ и $ADC$. Они прямоугольные ($\angle BDH = \angle ADC = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle DAC = \angle DBH$ (так как они оба дополняют угол $C$ до $90^\circ$ в треугольниках $ADC$ и $BKC$). Значит, $\triangle BDH \sim \triangle ADC$ по двум углам.
Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{HD}{DC} = \frac{BD}{AD}$, откуда $HD \cdot AD = BD \cdot DC$.

6) Мы уже знаем, что $BD \cdot DC = 225$ и $AD = 45$. Подставим эти значения:
$HD \cdot 45 = 225$,
$HD = \frac{225}{45} = 5$.

7) Теперь найдём искомый отрезок $AH$:
$AH = AD - HD = 45 - 5 = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ