Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC < AD$). По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 39^\circ$ и $\angle D = 51^\circ$. Заметим, что сумма этих углов равна $39^\circ + 51^\circ = 90^\circ$.

2) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований. Обозначим середину $BC$ как $M$, а середину $AD$ как $N$. Средняя линия трапеции всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (если трапеция не является параллелограммом). Следовательно, средняя линия равна $19$, а отрезок $MN = 3$.

3) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle S = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Значит, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

4) В прямоугольном треугольнике $ASD$ отрезок $SN$ является медианой, проведённой к гипотенузе $AD$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, $SN = \frac{1}{2} AD$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ отрезок $SM$ является медианой к гипотенузе $BC$, значит, $SM = \frac{1}{2} BC$.

5) Точки $S, M, N$ лежат на одной прямой, так как $M$ и $N$ — середины параллельных оснований, а $S$ — точка пересечения боковых сторон. Отрезок $MN$ можно выразить как разность медиан: $MN = SN - SM$. Подставим выражения через основания: $MN = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$. По условию $MN = 3$, значит: $\frac{AD - BC}{2} = 3$, откуда $AD - BC = 6$.

6) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{AD + BC}{2} = 19$, откуда $AD + BC = 38$.

7) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} AD + BC = 38 \\ AD - BC = 6 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 44$, следовательно, $AD = 22$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 32$, следовательно, $BC = 16$.

Ответ: 16; 22.

Источник: ФИПИ