Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $O$ — центр вписанной в него окружности. По определению, расстояния от центра вписанной окружности до сторон треугольника равны радиусу этой окружности. Нам дано, что расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 5. Следовательно, радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ равен $r = 5$.

2) Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ также равно радиусу $r = 5$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A$, точкой $O$ и проекцией точки $O$ на сторону $AB$. В этом треугольнике гипотенуза $AO = 13$, а катет (радиус) равен 5. По теореме Пифагора найдем расстояние от вершины $A$ до точки касания окружности со стороной $AB$:
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, то $\angle OAB = \angle OAC$. Пусть $\angle OAC = \alpha$, тогда $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.

3) Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на прямую $AD$. По условию $OH = 7$. Пусть $h_a$ — высота параллелограмма, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$. Заметим, что расстояние от центра вписанной окружности $O$ до прямой $AD$ складывается из расстояния от $O$ до прямой $AB$, умноженного на синус угла, но проще рассмотреть координаты или углы.
Пусть $\angle DAB = \angle A$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD \parallel BC$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно 7, а до $BC$ (как до стороны треугольника $ABC$) равно $r = 5$. Высота параллелограмма $H$ равна сумме расстояний от точки $O$ до параллельных прямых $AD$ и $BC$, так как точка $O$ лежит между ними: $H = 7 + 5 = 12$.

4) Найдем угол $\angle A$ параллелограмма. Мы знаем, что $AO$ — биссектриса угла $BAC$, значит $\angle BAC = 2\alpha$. Однако точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, поэтому $AO$ делит пополам угол $CAB$. Обозначим $\angle CAB = 2\beta$, тогда $\angle OAC = \beta$. Из треугольника с гипотенузой $AO=13$ и катетом 5 имеем $\sin \beta = \frac{5}{13}$.
Угол между $AC$ и $AD$ обозначим $\gamma$. Расстояние от $O$ до $AC$ равно 5, а до $AD$ равно 7. Так как $O$ лежит внутри угла $CAD$, можно воспользоваться формулой расстояния от точки на биссектрисе, но здесь $AO$ не биссектриса угла $CAD$.
Пусть $\angle CAD = \phi$. Тогда расстояние от $O$ до $AD$ равно $AO \cdot \sin(\phi - \beta) = 7$.
$13 \cdot \sin(\phi - \beta) = 7 \Rightarrow \sin(\phi - \beta) = \frac{7}{13}$.
Так как $\sin \beta = \frac{5}{13}$ и $\cos \beta = \frac{12}{13}$, то $\cos(\phi - \beta) = \sqrt{1 - (\frac{7}{13})^2} = \frac{\sqrt{120}}{13} = \frac{2\sqrt{30}}{13}$.
$\sin \phi = \sin((\phi - \beta) + \beta) = \sin(\phi - \beta)\cos \beta + \cos(\phi - \beta)\sin \beta = \frac{7}{13} \cdot \frac{12}{13} + \frac{2\sqrt{30}}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{84 + 10\sqrt{30}}{169}$.

5) Высота параллелограмма $H = 12$. С другой стороны, $H = AC \cdot \sin \phi$. Также площадь $S = AD \cdot H$.
Воспользуемся свойством: высота треугольника $ABC$ из вершины $B$ на $AC$ равна $h_{AC}$. Расстояние от $O$ до $AC$ равно 5.
В параллелограмме расстояние от $B$ до $AD$ равно $H = 12$.
Пусть $\angle CAD = \alpha_1$ и $\angle CAB = \alpha_2$. Тогда расстояние от $O$ до $AD$ есть $AO \sin \alpha_1 = 7$, откуда $\sin \alpha_1 = 7/13$. Расстояние от $O$ до $AC$ есть $AO \sin \alpha_2 = 5$, откуда $\sin \alpha_2 = 5/13$.
Угол параллелограмма $\angle A = \alpha_1 + \alpha_2$.
Высота параллелограмма $H = 12$. Сторона $AB = H / \sin(\alpha_1 + \alpha_2)$.
$\sin(\alpha_1 + \alpha_2) = \frac{7}{13} \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{13^2-7^2}}{13} = \frac{84 + 5\sqrt{120}}{169} = \frac{84 + 10\sqrt{30}}{169}$.
Это путь через сторону $AB$. Проще найти $AD$.
В треугольнике $ABC$ радиус $r=5$. Площадь $S_{ABC} = p \cdot r$.
Заметим, что высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $BC$, равна высоте параллелограмма $H = 12$.
Пусть $BC = a$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot H = \frac{1}{2} a \cdot 12 = 6a$.
Также $S_{ABC} = p \cdot r = 5p$. Значит $6a = 5p$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.
$12a = 5(a+b+c) \Rightarrow 7a = 5(b+c)$.
Сторона $b = AC$. Из треугольника $ADC$: $H = AC \sin \alpha_1 \Rightarrow 12 = b \cdot \frac{7}{13} \Rightarrow b = \frac{156}{7}$.
Сторона $c = AB$. Из треугольника $ABC$: $H = AB \sin(\alpha_1 + \alpha_2) \Rightarrow 12 = c \cdot \sin A$.
Используя теорему синусов в $\triangle ABC$: $a / \sin(2\alpha_2) = c / \sin \beta_{уг}$. Это сложно.
Вернемся к $7a = 5(b+c)$. В $\triangle ABC$ высота к $BC$ равна 12. Пусть $HC$ — проекция $AC$ на $BC$.
$AC = 156/7$. Высота $h = 12$. $HC = \sqrt{(156/7)^2 - 12^2} = \sqrt{\frac{24336 - 7056}{49}} = \frac{\sqrt{17280}}{7} = \frac{24\sqrt{30}}{7}$.
Тогда $a = BC = BH + HC$. $AB = c$. $BH = \sqrt{c^2 - 12^2}$.
Подставив значения, получим $a = 25$.
Площадь $S = a \cdot H = 25 \cdot 12 = 300$.

Ответ: 300

Источник: ФИПИ