Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $a$ — меньшее основание трапеции, $b$ — большее основание, а $c$ — её боковая сторона. Так как трапеция равнобедренная, обе её боковые стороны равны $c$.

2) По условию в трапецию можно вписать окружность. Существует важное свойство: если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит, $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.

3) Периметр трапеции $P = a + b + 2c$. Подставим выражение из предыдущего шага: $P = 2c + 2c = 4c$. По условию $P = 220$, следовательно:
$4c = 220$, откуда $c = 55$.
Тогда сумма оснований $a + b = 2c = 110$.

4) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Подставим известные значения:
$2420 = \frac{110}{2} \cdot h$;
$2420 = 55 \cdot h$;
$h = \frac{2420}{55} = 44$.

5) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники, образованные основаниями и точкой пересечения диагоналей (верхний и нижний), подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущих-диагоналях). Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{a}{b}$.

6) Высота трапеции $h$ складывается из высот этих подобных треугольников, проведённых из точки $O$. Пусть $h_1$ — расстояние от точки $O$ до меньшего основания $a$, а $h_2$ — расстояние до большего основания $b$. Тогда $h_1 + h_2 = h = 44$. Из подобия треугольников следует, что их высоты относятся так же, как основания: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b}$.

7) Найдём длины оснований. Проведём высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Они отсекают на нижнем основании отрезки длиной $\frac{b - a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона $c = 55$, а катеты — высота $h = 44$ и отрезок $\frac{b - a}{2}$.
По теореме Пифагора: $(\frac{b - a}{2})^2 = c^2 - h^2 = 55^2 - 44^2 = (55 - 44)(55 + 44) = 11 \cdot 99 = 11 \cdot 11 \cdot 9 = 121 \cdot 9$.
$\frac{b - a}{2} = \sqrt{121 \cdot 9} = 11 \cdot 3 = 33$.
Значит, $b - a = 66$.

8) Имеем систему уравнений для оснований:
$\begin{cases} b + a = 110 \\ b - a = 66 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2b = 176$, откуда $b = 88$.
Вычтем уравнения: $2a = 44$, откуда $a = 22$.

9) Теперь найдём $h_1$. Мы знаем, что $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} = \frac{22}{88} = \frac{1}{4}$.
Значит, $h_2 = 4h_1$.
Так как $h_1 + h_2 = 44$, получаем:
$h_1 + 4h_1 = 44$;
$5h_1 = 44$;
$h_1 = \frac{44}{5} = 8,8$.

Ответ: 8,8

Источник: ФИПИ