Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как $MA = MB = MC = MD$, то все вершины четырёхугольника лежат на одной окружности с центром в точке $M$. При этом отрезок $AD$ проходит через центр $M$ и является диаметром этой окружности (так как $M$ — середина $AD$).

3. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу окружности $R$. Пусть $MA = MB = MC = MD = R$.

4. Обозначим углы при основаниях равнобедренных треугольников:
В $\triangle AMB$: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$.
В $\triangle BMC$: $\angle MBC = \angle MCB = \beta$.
В $\triangle CMD$: $\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

5. По условию задачи углы четырёхугольника равны:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 112^\circ$;
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 113^\circ$.

6. Сумма углов выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, где $AD$ — диаметр, также может быть найдена через сумму углов треугольников. Заметим, что $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \gamma$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$;
$\alpha + 112^\circ + 113^\circ + \gamma = 360^\circ$;
$\alpha + \gamma = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$.

7. Теперь найдем угол $\beta$. Сложим равенства для углов $B$ и $C$:
$(\alpha + \beta) + (\beta + \gamma) = 112^\circ + 113^\circ$;
$(\alpha + \gamma) + 2\beta = 225^\circ$.
Подставим найденное значение $\alpha + \gamma = 135^\circ$:
$135^\circ + 2\beta = 225^\circ$;
$2\beta = 90^\circ$;
$\beta = 45^\circ$.

8. Рассмотрим треугольник $BMC$. Мы выяснили, что $\angle MBC = \angle MCB = \beta = 45^\circ$. Тогда угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - (\beta + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle BMC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $BC = 10$.

9. По теореме Пифагора для $\triangle BMC$:
$MB^2 + MC^2 = BC^2$;
$R^2 + R^2 = 10^2$;
$2R^2 = 100$;
$R^2 = 50$;
$R = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

10. Сторона $AD$ является диаметром окружности, то есть $AD = 2R$:
$AD = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.

Ответ: $10\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ