Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 2|x - 4| - x^2 + 9x - 20$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x - 4$ меняет знак в точке $x = 4$.

1. Рассмотрим случай $x \ge 4$:
В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 2(x - 4) - x^2 + 9x - 20$
$y = 2x - 8 - x^2 + 9x - 20$
$y = -x^2 + 11x - 28$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2 \cdot (-1)} = 5,5$
$y_0 = -(5,5)^2 + 11 \cdot 5,5 - 28 = -30,25 + 60,5 - 28 = 2,25$
Вершина параболы: $(5,5; 2,25)$.
Точка стыка при $x = 4$: $y(4) = -4^2 + 11 \cdot 4 - 28 = -16 + 44 - 28 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < 4$:
В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$. Подставим в уравнение:
$y = 2(-x + 4) - x^2 + 9x - 20$
$y = -2x + 8 - x^2 + 9x - 20$
$y = -x^2 + 7x - 12$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = 3,5$
$y_0 = -(3,5)^2 + 7 \cdot 3,5 - 12 = -12,25 + 24,5 - 12 = 0,25$
Вершина параболы: $(3,5; 0,25)$.
Точка стыка при $x = 4$: $y(4) = -4^2 + 7 \cdot 4 - 12 = -16 + 28 - 12 = 0$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
График представляет собой две части парабол, соединенные в точке $(4; 0)$.
- При $m < 0$ прямая пересекает две ветви парабол (2 точки).
- При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(4; 0)$ и пересекает две внешние ветви (3 точки).
- При $0 < m < 0,25$ прямая пересекает график в 4 точках.
- При $m = 0,25$ прямая касается вершины левой параболы, проходит через её "горб" и пересекает правую часть в двух точках (3 точки).
- При $0,25 < m < 2,25$ прямая пересекает только правую параболу в 2 точках.
- При $m = 2,25$ прямая касается вершины правой параболы (1 точка).
- При $m > 2,25$ точек пересечения нет.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = 0$ и $m = 0,25$.

Ответ: 0; 0,25

Источник: ФИПИ