Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 36$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 45$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 45 + 36 = 81$.

2) Рассмотрим общие касательные $AC$ и $BD$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $S$, которая является центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Точки $A, B, C, D$ являются точками касания. В силу симметрии трапеция $ABCD$ — равнобедренная, а прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$. Следовательно, расстояние между $AB$ и $CD$ — это отрезок на линии центров.

3) Из подобия треугольников с вершиной в точке $S$ следует, что отношение расстояний от $S$ до центров окружностей равно отношению их радиусов: $\frac{SO_1}{SO_2} = \frac{r}{R}$.
Пусть $SO_1 = x$, тогда $SO_2 = x + 81$.
$\frac{x}{x + 81} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}$.
Решим уравнение: $5x = 4(x + 81) \Rightarrow 5x = 4x + 324 \Rightarrow x = 324$.
Значит, $SO_1 = 324$, а $SO_2 = 324 + 81 = 405$.

4) Пусть $H_1$ — точка пересечения $AB$ с линией центров, а $H_2$ — точка пересечения $CD$ с линией центров. Отрезки $O_1A$ и $O_2C$ — радиусы, проведенные в точки касания, поэтому $O_1A \perp SC$ и $O_2C \perp SC$.
В прямоугольном треугольнике $SO_1A$ отрезок $AH_1$ является высотой, опущенной на гипотенузу $SO_1$. Однако, согласно построению, $AB \perp SO_1$, значит $H_1$ — это проекция точки $A$ на $SO_1$.
Из подобия треугольников $SAH_1$ и $SO_1A$ (по острому углу):
$\frac{SH_1}{SA} = \frac{SA}{SO_1} \Rightarrow SH_1 = \frac{SA^2}{SO_1}$.
По теореме Пифагора в $\triangle SO_1A$: $SA^2 = SO_1^2 - O_1A^2 = 324^2 - 36^2 = (324 - 36)(324 + 36) = 288 \cdot 360$.
Тогда $SH_1 = \frac{288 \cdot 360}{324} = \frac{288 \cdot 10}{9} = 32 \cdot 10 = 320$.

5) Аналогично для второй окружности в треугольнике $SO_2C$:
$SH_2 = \frac{SC^2}{SO_2}$.
По теореме Пифагора: $SC^2 = SO_2^2 - O_2C^2 = 405^2 - 45^2 = (405 - 45)(405 + 45) = 360 \cdot 450$.
Тогда $SH_2 = \frac{360 \cdot 450}{405} = \frac{360 \cdot 10}{9} = 40 \cdot 10 = 400$.

6) Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно длине отрезка $H_1H_2$:
$H_1H_2 = SH_2 - SH_1 = 400 - 320 = 80$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ