Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 36$ , $A C = 54$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ . По свойству касательной, радиус $AO$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $AO \perp AK$ .

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$ ( $BD \perp AO$ ). Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $AK \parallel BD$ .

3) Рассмотрим углы, образованные этими прямыми. Угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$ . В то же время вписанный угол $ACB$ также опирается на дугу $AB$ , значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$ . Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$ .

4) Так как $AK \parallel BD$ , то накрест лежащие углы при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$ . Объединяя это с результатом предыдущего шага, получаем: $\angle ABD = \angle ACB$ .

5) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ . У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

6) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Подставим известные значения сторон $AB = 36$ и $AC = 54$ :
$\frac{36}{54} = \frac{AD}{36}$ .
Сократим дробь $\frac{36}{54}$ на $18$ :
$\frac{2}{3} = \frac{AD}{36}$ .
Отсюда находим $AD$ :
$AD = \frac{2 \cdot 36}{3} = 2 \cdot 12 = 24$ .

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$ . Чтобы найти $CD$ , нужно из длины всей стороны $AC$ вычесть длину найденного отрезка $AD$ :
$CD = AC - AD = 54 - 24 = 30$ .

Ответ: 30

Источник: ФИПИ