Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $AO \perp AK$.

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$ ($BD \perp AO$). Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $AK \parallel BD$.

3) Рассмотрим углы, образованные этими прямыми. Угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$. В то же время вписанный угол $ACB$ также опирается на дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$. Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$.

4) Так как $AK \parallel BD$, то накрест лежащие углы при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$. Объединяя это с результатом предыдущего шага, получаем: $\angle ABD = \angle ACB$.

5) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$. У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

6) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Подставим известные значения сторон $AB = 36$ и $AC = 54$:
$\frac{36}{54} = \frac{AD}{36}$.
Сократим дробь $\frac{36}{54}$ на $18$:
$\frac{2}{3} = \frac{AD}{36}$.
Отсюда находим $AD$:
$AD = \frac{2 \cdot 36}{3} = 2 \cdot 12 = 24$.

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$. Чтобы найти $CD$, нужно из длины всей стороны $AC$ вычесть длину найденного отрезка $AD$:
$CD = AC - AD = 54 - 24 = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ