Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ (а значит, и основанию $AD$, так как $BC \parallel AD$). Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Если же $AB \parallel CD$, то трапеция является прямоугольником, но в данной задаче это частный случай, который не меняет логики решения.

2. Рассмотрим точку $E$, лежащую на прямой $AB$. По условию окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Согласно теореме о квадрате касательной, квадрат отрезка касательной $KE$ равен произведению секущей $KC$ на её внешнюю часть $KD$:
$KE^2 = KC \cdot KD$.

3. Пусть $h$ — искомое расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Опустим перпендикуляр $EH$ на прямую $CD$, тогда $EH = h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$. В нём $\sin \angle EKH = \frac{EH}{KE}$, откуда $h = KE \cdot \sin \angle KDC$ (заметим, что $\angle EKH$ — это тот же угол, что и $\angle AKD$).

4. Проведём высоту трапеции $CF$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $ABFC$ — прямоугольник, $CF = AB$, а $AF = BC = 15$. Следовательно, $FD = AD - AF = 20 - 15 = 5$.
Из прямоугольного треугольника $CFD$ имеем: $\sin \angle CDF = \frac{CF}{CD}$. Заметим, что $\angle CDF$ — это угол при основании трапеции.

5. Воспользуемся свойством подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ (по двум углам). Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
Тогда $\frac{KC}{KD} = \frac{3}{4}$, откуда $KC = \frac{3}{4} KD$.
Подставим это в формулу касательной: $KE^2 = \frac{3}{4} KD \cdot KD = \frac{3}{4} KD^2$.
Отсюда $KE = \frac{\sqrt{3}}{2} KD$.

6. Рассмотрим треугольник $KAD$. В нём $\sin \angle KDA = \frac{KA}{KD}$. Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ можно выразить через площадь треугольника или через синус угла. В треугольнике $KHE$: $h = KE \cdot \sin \angle K$.
Однако проще применить метод площадей или подобие. Пусть $\alpha = \angle KDA$. Из треугольника $CFD$: $\sin \alpha = \frac{CF}{CD}$.
В прямоугольном треугольнике $KAD$: $KA = KD \cdot \sin \alpha$.
Также заметим, что $CF = AB = KA - KB = KA - \frac{3}{4} KA = \frac{1}{4} KA$.
Тогда $CD = \sqrt{CF^2 + FD^2} = \sqrt{(\frac{1}{4} KA)^2 + 5^2}$.

7. Существует более изящный способ. Пусть $d$ — искомое расстояние. Из подобия прямоугольных треугольников, образованных высотами, и свойств касательной выводится формула: расстояние от точки касания $E$ до хорды $CD$ есть среднее геометрическое расстояний от концов хорды до касательной.
Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ равно $BC = 15$.
Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно $AD = 20$.
Тогда $h = \sqrt{BC \cdot AD}$.
$h = \sqrt{15 \cdot 20} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

Ответ: $10\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ