Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Так как $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $AB \perp AD$. Следовательно, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$. Значит, они подобны по двум углам ($\angle K$ — общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$).

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ следует отношение соответственных сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$.
Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$.
Пусть $KC = 6x$, тогда $KD = 7x$. Отсюда отрезок $CD = KD - KC = 7x - 6x = x$.

3) По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $E$, а прямая $KD$ является секущей, проходящей через точки $C$ и $D$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки:
$KE^2 = KC \cdot KD$.
Подставим наши обозначения: $KE^2 = 6x \cdot 7x = 42x^2$.
Откуда $KE = x\sqrt{42}$.

4) Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Пусть это будет перпендикуляр $EH$, где $H$ лежит на прямой $CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KEH$. В нём $\sin \angle K = \frac{EH}{KE}$, следовательно, $EH = KE \cdot \sin \angle K$.

5) Из прямоугольного треугольника $KBC$ найдем $\sin \angle K$. По определению синуса:
$\sin \angle K = \frac{BC}{KC} = \frac{12}{6x} = \frac{2}{x}$.

6) Теперь вычислим искомое расстояние $EH$:
$EH = KE \cdot \sin \angle K = x\sqrt{42} \cdot \frac{2}{x} = 2\sqrt{42}$.

Ответ: $2\sqrt{42}$

Источник: ФИПИ