Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 14$ , $B C = 12$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ . Так как $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $AB \perp AD$ . Следовательно, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$ . Значит, они подобны по двум углам ( $\angle K$ — общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$ ).

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ следует отношение соответственных сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$ .
Пусть $KC = 6x$ , тогда $KD = 7x$ . Отсюда отрезок $CD = KD - KC = 7x - 6x = x$ .

3) По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $E$ , а прямая $KD$ является секущей, проходящей через точки $C$ и $D$ . По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки:
$KE^2 = KC \cdot KD$ .
Подставим наши обозначения: $KE^2 = 6x \cdot 7x = 42x^2$ .
Откуда $KE = x\sqrt{42}$ .

4) Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ . Пусть это будет перпендикуляр $EH$ , где $H$ лежит на прямой $CD$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник $KEH$ . В нём $\sin \angle K = \frac{EH}{KE}$ , следовательно, $EH = KE \cdot \sin \angle K$ .

5) Из прямоугольного треугольника $KBC$ найдем $\sin \angle K$ . По определению синуса:
$\sin \angle K = \frac{BC}{KC} = \frac{12}{6x} = \frac{2}{x}$ .

6) Теперь вычислим искомое расстояние $EH$ :
$EH = KE \cdot \sin \angle K = x\sqrt{42} \cdot \frac{2}{x} = 2\sqrt{42}$ .

Ответ: $2\sqrt{42}$

Источник: ФИПИ