Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AK$. Таким образом, $AO \perp AK$.

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$. Если две прямые ($AK$ и $BD$) перпендикулярны одной и той же прямой ($AO$), то эти прямые параллельны между собой. Значит, $AK \parallel BD$.

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $AK$ и $BD$ и секущей $AB$. Угол $KAB$ и угол $ABD$ являются накрест лежащими, следовательно, $\angle KAB = \angle ABD$.

4) Угол $KAB$ — это угол между касательной $AK$ и хордой $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой, такой угол равен половине дуги, которую стягивает хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$.
В то же время вписанный угол $ACB$ (или $\angle C$) также опирается на дугу $AB$, поэтому $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$.
Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$.

5) Так как $\angle KAB = \angle ABD$ и $\angle KAB = \angle ACB$, то $\angle ABD = \angle ACB$.

6) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$. У них:
— угол $A$ общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

7) Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Выразим отсюда отрезок $AD$:
$AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{84^2}{98} = \frac{84 \cdot 84}{98}$.

8) Сократим дробь:
$AD = \frac{84 \cdot 84}{98} = \frac{84 \cdot 84}{2 \cdot 49} = \frac{42 \cdot 84}{49} = \frac{42 \cdot 12 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 12}{7} = 6 \cdot 12 = 72$.

9) Найдём длину искомого отрезка $CD$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому:
$CD = AC - AD = 98 - 72 = 26$.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ