Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC$ (меньшее) и $AD$ (большее), боковыми сторонами $AB = CD$. Обозначим основания как $a = BC$ и $b = AD$, а боковую сторону как $c = AB = CD$.

2) По свойству описанного четырёхугольника, если в трапецию можно вписать окружность, то суммы её противоположных сторон равны: $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.
Периметр трапеции $P = a + b + 2c = 20$. Подставим $a + b = 2c$:
$2c + 2c = 20$
$4c = 20$
$c = 5$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2c = 10$.

3) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Подставим известные значения:
$20 = \frac{10}{2} \cdot h$
$20 = 5h$
$h = 4$.

4) Пусть $BH$ — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB = 5$, катет $BH = 4$. По теореме Пифагора найдем отрезок $AH$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.
Так как трапеция равнобедренная, то $AH = \frac{b - a}{2}$. Отсюда $b - a = 2 \cdot 3 = 6$.

5) Составим систему уравнений для нахождения оснований:
$\begin{cases} b + a = 10 \\ b - a = 6 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2b = 16$, откуда $b = 8$. Тогда $a = 10 - 8 = 2$.

6) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ равны).
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{a}{b} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Высота трапеции $h$ складывается из высот этих треугольников, проведенных из точки $O$. Пусть $h_1$ — высота треугольника $BOC$ (искомое расстояние от $O$ до меньшего основания), а $h_2$ — высота треугольника $DOA$.
Тогда $\frac{h_1}{h_2} = k = \frac{1}{4}$, то есть $h_2 = 4h_1$.
Так как $h_1 + h_2 = h$, получаем:
$h_1 + 4h_1 = 4$
$5h_1 = 4$
$h_1 = 0,8$.

Ответ: 0,8

Источник: ФИПИ