Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$-1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -1$.

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в знаменателе можно вынести минус за скобки: $-1 - x = -(x + 1)$.
Тогда функция примет вид:
$y = \frac{(x^2 + 0,25)(x + 1)}{-(x + 1)}$.
Сократим дробь на $(x + 1)$, учитывая условие $x \neq -1$:
$y = -(x^2 + 0,25)$ или $y = -x^2 - 0,25$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -x^2 - 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -0,25)$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -1$ в упрощённое уравнение:
$y(-1) = -(-1)^2 - 0,25 = -1 - 0,25 = -1,25$.
Таким образом, точка $(-1; -1,25)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $(-1; -1,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не считается. Подставим координаты точки в уравнение прямой:
$-1,25 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = 1,25$.

Случай Б: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $kx = -x^2 - 0,25$ должно иметь ровно одно решение.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 0,25 = 0$.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = k^2 - 1$.
Условие $D = 0$:
$k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$ или $k = -1$.

При $k = 1$ точка касания: $x = \frac{-k}{2} = -0,5$.
При $k = -1$ точка касания: $x = \frac{-k}{2} = 0,5$.
Обе точки касания не совпадают с выколотой точкой ($x \neq -1$), значит, эти значения нам подходят.

Ответ: -1; 1; 1,25

Источник: ФИПИ