Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$, лежащие на стороне $AC$, и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$. По условию $AM = 9$, $AN = 35$. Точки $M$ и $N$ лежат на одной прямой, выходящей из точки $A$, поэтому отрезок $AN$ содержит отрезок $AM$.

2) Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длин всей секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
$AK^2 = 9 \cdot 35 = 315$
Отсюда $AK = \sqrt{315} = \sqrt{9 \cdot 35} = 3\sqrt{35}$.

3) Рассмотрим треугольник $AMK$. По теореме косинусов найдем сторону $MK$:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$
$MK^2 = 9^2 + (3\sqrt{35})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}$
$MK^2 = 81 + 315 - 54 \cdot \frac{35}{6}$
$MK^2 = 396 - 9 \cdot 35 = 396 - 315 = 81$
Следовательно, $MK = \sqrt{81} = 9$.

4) Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 9$ и $MK = 9$. Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Пусть $\angle BAC = \alpha$. Тогда $\cos \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}$.
Найдем синус этого угла: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{35}{36}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$.

5) Угол между касательной $AK$ и хордой $KN$ равен половине дуги $KN$, которую стягивает эта хорда. С другой стороны, вписанный угол $KMN$ также опирается на эту дугу. Однако нам удобнее рассмотреть треугольник $AKN$.
В треугольнике $AKN$: $AK = 3\sqrt{35}$, $AN = 35$, $\angle KAN = \alpha$.
По теореме косинусов найдем $KN$:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos \alpha$
$KN^2 = 315 + 35^2 - 2 \cdot 3\sqrt{35} \cdot 35 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}$
$KN^2 = 315 + 1225 - \frac{6 \cdot 35 \cdot 35}{6} = 315 + 1225 - 1225 = 315$.
Значит, $KN = \sqrt{315} = 3\sqrt{35}$.

6) Мы получили, что в треугольнике $AKN$ стороны $AK = KN = 3\sqrt{35}$. Значит, этот треугольник равнобедренный, и $\angle KNA = \angle KAN = \alpha$.
Угол $\angle KNA$ является вписанным в окружность и опирается на хорду $MK$. Но проще воспользоваться теоремой синусов для треугольника $MKN$, который вписан в искомую окружность.
В треугольнике $MKN$: сторона $KN = 3\sqrt{35}$. Найдем синус угла $KMN$.
Угол $KMN$ — это внешний угол треугольника $AMK$. Так как $AM=MK$, то $\angle MAK = \angle MKA = \alpha$.
Тогда $\angle KMN = \angle MAK + \angle MKA = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

7) По теореме синусов радиус $R$ описанной окружности равен:
$R = \frac{KN}{2 \sin \angle KMN} = \frac{3\sqrt{35}}{2 \sin(2\alpha)}$
Вычислим $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{18}$.
Подставим в формулу радиуса:
$R = \frac{3\sqrt{35}}{2 \cdot \frac{\sqrt{35}}{18}} = \frac{3\sqrt{35} \cdot 18}{2\sqrt{35}} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ