Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2. Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$.

3. В равнобедренном треугольнике $ABD$ биссектриса $BO$ также является медианой, поэтому точка $O$ — середина $AD$. Так как длина $AD = 12$, то $AO = OD = 12 : 2 = 6$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOD$. Пусть $BO = x$, тогда $OE = 12 - x$. По теореме Пифагора для $\triangle BOD$:
$BD^2 = BO^2 + OD^2 = x^2 + 6^2 = x^2 + 36$.
Так как $AB = BD$, то $AB = \sqrt{x^2 + 36}$.

5. Воспользуемся свойством биссектрисы $BE$ в треугольнике $ABC$: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}$.
Поскольку $BC = 2 \cdot AB$, получаем $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$. Это значит, что $EC = 2 \cdot AE$, а вся сторона $AC = AE + EC = 3 \cdot AE$.

6. Применим теорему Менелая для треугольника $BCE$ и прямой $AD$, пересекающей его стороны (или их продолжения):
$\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$.
Подставим известные отношения: $\frac{3 \cdot AE}{AE} \cdot \frac{12 - x}{x} \cdot \frac{1}{1} = 1$.
$3 \cdot \frac{12 - x}{x} = 1 \Rightarrow 36 - 3x = x \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9$.
Итак, $BO = 9$, а $OE = 12 - 9 = 3$.

7. Теперь найдём длины сторон:
$AB = \sqrt{BO^2 + AO^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$.
$BC = 2 \cdot AB = 6\sqrt{13}$.
В прямоугольном треугольнике $AOE$: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.

Ответ: $3\sqrt{13}$; $6\sqrt{13}$; $9\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ