Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-линейна и состоит из левого луча, среднего отрезка и правого луча. Точки излома заданы при $x=1$ и $x=3$. Построим каждый участок.

1) На промежутке $x<1$: $y=2,5x-3,5$, прямая с положительным наклоном.
При $x=0$: $y=-3,5$ — точка $(0;-3,5)$.
При $x\to1$: $y=2,5\cdot1-3,5=-1$. Так как неравенство строгое ($x<1$), точка $(1;-1)$ — выколотая. Левый луч уходит вниз к $-\infty$ и покрывает значения $y\in(-\infty;-1)$.

2) На промежутке $1\le x\le3$: $y=-2,5x+4$, убывающий отрезок.
При $x=1$: $y=-2,5+4=1,5$ — точка $(1;1,5)$ (закрашенная).
При $x=3$: $y=-7,5+4=-3,5$ — точка $(3;-3,5)$.
Отрезок покрывает значения $y\in[-3,5;\,1,5]$. Заметим, что в точке $x=1$ график терпит разрыв: левый луч подходит к $y=-1$, а средний отрезок начинается при $y=1,5$.

3) На промежутке $x>3$: $y=1,5x-8$, луч с положительным наклоном.
При $x=3$: $y=1,5\cdot3-8=-3,5$ — значение совпадает с концом отрезка, то есть в точке $(3;-3,5)$ график непрерывен.
При $x=4$: $y=1,5\cdot4-8=-2$ — точка $(4;-2)$. Правый луч уходит вверх к $+\infty$ и покрывает значения $y\in(-3,5;\,+\infty)$.

4) Определим, при каких $m$ горизонтальная прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Каждый из трёх монотонных кусков даёт не более одной точки:
— левый луч даёт точку при $m<-1$;
— средний отрезок даёт точку при $-3,5\le m\le1,5$;
— правый луч даёт точку при $m>-3,5$.

Сложим вклады, двигая прямую снизу вверх:
— при $m<-3,5$: только левый луч — 1 точка;
— при $m=-3,5$: левый луч и конец отрезка $(3;-3,5)$ — 2 точки (правый луч при $m=-3,5$ не даёт точки, так как $x>3$ строго);
— при -3,5 — при \(m=-1: левый луч уже не даёт точку (выколота), остаются средний отрезок и правый луч — 2 точки;
— при -12 точки</strong>;<br> — при \(m>1,5: только правый луч — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-3,5$ и при $-1\le m\le1,5$.

Ответ: $m=-3,5$; $-1\le m\le1,5$.