Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из трёх лучей и отрезка. Построим график, исследовав каждый участок в отдельности.

1) На промежутке $x < 2$ функция имеет вид $y = 3x - 3$.
Это прямая. Найдём две точки для построения:
Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 3 = 3$. Точка $(2; 3)$ будет "граничной" (выколотой или закрашенной в зависимости от соседнего участка).

2) На промежутке $2 \le x \le 3$ функция имеет вид $y = -3x + 8,5$.
Это отрезок прямой. Найдём значения на концах промежутка:
Если $x = 2$, то $y = -3 \cdot 2 + 8,5 = 2,5$. Точка $(2; 2,5)$.
Если $x = 3$, то $y = -3 \cdot 3 + 8,5 = -0,5$. Точка $(3; -0,5)$.

3) На промежутке $x > 3$ функция имеет вид $y = 3,5x - 11$.
Это луч. Найдём две точки:
Если $x = 3$, то $y = 3,5 \cdot 3 - 11 = 10,5 - 11 = -0,5$. Точка $(3; -0,5)$ совпадает с концом предыдущего участка.
Если $x = 4$, то $y = 3,5 \cdot 4 - 11 = 14 - 11 = 3$. Точка $(4; 3)$.

Заметим, что в точке $x = 2$ происходит разрыв: левая ветвь заканчивается в $y = 3$, а средняя начинается в $y = 2,5$. В точке $x = 3$ график непрерывен.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем движение прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < -0,5$ прямая пересекает только левый луч ($y = 3x - 3$), то есть имеет 1 точку.
— При $m = -0,5$ прямая проходит через "излом" в точке $(3; -0,5)$ и пересекает левый луч. Итого 2 точки.
— При $-0,5 < m < 2,5$ прямая пересекает все три части графика. Итого 3 точки.
— При $m = 2,5$ прямая проходит через точку $(2; 2,5)$, пересекает левый луч и правый луч. Итого 3 точки (так как точка $(2; 2,5)$ включена в график).
— При $2,5 < m < 3$ прямая пересекает левый луч и правый луч. Итого 2 точки.
— При $m = 3$ прямая проходит через "пустую" точку $(2; 3)$ левого луча (так как там строгое неравенство $x < 2$) и пересекает правый луч. Итого 1 точка.
— При $m > 3$ прямая пересекает только правый луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m = -0,5$ и в интервале $2,5 < m < 3$.

Ответ: $m = -0,5$; $2,5 < m < 3$.

Источник: ФИПИ