Задание №22 — Функции

#48440Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}3 x - 3 \\ - 3 x + 8,5 \\ 3,5 x - 11\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x < 2, \\ 2 \leq x \leq 3, \\ x > 3.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из трёх лучей и отрезка. Построим график, исследовав каждый участок в отдельности.

1) На промежутке $x < 2$ функция имеет вид $y = 3x - 3$ .
Это прямая. Найдём две точки для построения:
Если $x = 0$ , то $y = 3 \cdot 0 - 3 = -3$ . Точка $(0; -3)$ .
Если $x = 2$ , то $y = 3 \cdot 2 - 3 = 3$ . Точка $(2; 3)$ будет "граничной" (выколотой или закрашенной в зависимости от соседнего участка).

2) На промежутке $2 \le x \le 3$ функция имеет вид $y = -3x + 8,5$ .
Это отрезок прямой. Найдём значения на концах промежутка:
Если $x = 2$ , то $y = -3 \cdot 2 + 8,5 = 2,5$ . Точка $(2; 2,5)$ .
Если $x = 3$ , то $y = -3 \cdot 3 + 8,5 = -0,5$ . Точка $(3; -0,5)$ .

3) На промежутке $x > 3$ функция имеет вид $y = 3,5x - 11$ .
Это луч. Найдём две точки:
Если $x = 3$ , то $y = 3,5 \cdot 3 - 11 = 10,5 - 11 = -0,5$ . Точка $(3; -0,5)$ совпадает с концом предыдущего участка.
Если $x = 4$ , то $y = 3,5 \cdot 4 - 11 = 14 - 11 = 3$ . Точка $(4; 3)$ .

Заметим, что в точке $x = 2$ происходит разрыв: левая ветвь заканчивается в $y = 3$ , а средняя начинается в $y = 2,5$ . В точке $x = 3$ график непрерывен.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем движение прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < -0,5$ прямая пересекает только левый луч ( $y = 3x - 3$ ), то есть имеет 1 точку.
— При $m = -0,5$ прямая проходит через "излом" в точке $(3; -0,5)$ и пересекает левый луч. Итого 2 точки.
— При $-0,5 < m < 2,5$ прямая пересекает все три части графика. Итого 3 точки.
— При $m = 2,5$ прямая проходит через точку $(2; 2,5)$ , пересекает левый луч и правый луч. Итого 3 точки (так как точка $(2; 2,5)$ включена в график).
— При $2,5 < m < 3$ прямая пересекает левый луч и правый луч. Итого 2 точки.
— При $m = 3$ прямая проходит через "пустую" точку $(2; 3)$ левого луча (так как там строгое неравенство $x < 2$ ) и пересекает правый луч. Итого 1 точка.
— При $m > 3$ прямая пересекает только правый луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m = -0,5$ и в интервале $2,5 < m < 3$ .

Ответ: $m = -0,5$ ; $2,5 < m < 3$ .

Источник: ФИПИ