Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = |x|(x + 1) - 5x$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = x(x + 1) - 5x = x^2 + x - 5x = x^2 - 4x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$;
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы — точка $(2; -4)$. Дополнительные точки: при $x = 0$, $y = 0$; при $x = 4$, $y = 0$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = -x(x + 1) - 5x = -x^2 - x - 5x = -x^2 - 6x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$;
$y_0 = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9$.
Вершина параболы — точка $(-3; 9)$. Дополнительные точки: при $x = 0$, $y = 0$; при $x = -6$, $y = 0$.

Объединим полученные части на одном графике. Мы получили непрерывную линию, состоящую из двух кусков парабол, которые стыкуются в точке $(0; 0)$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем движение прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < -4$ прямая имеет 1 точку пересечения с левой ветвью второй параболы.
— При $m = -4$ прямая проходит через вершину первой параболы. Точки пересечения: вершина $(2; -4)$ и точка на левой ветви второй параболы. Итого 2 точки.
— При $-4 < m < 0$ прямая имеет 3 точки пересечения.
— При $m = 0$ прямая пересекает график в точках $(0; 0)$, $(4; 0)$ и $(-6; 0)$. Итого 3 точки.
— При $0 < m < 9$ прямая имеет 3 точки пересечения.
— При $m = 9$ прямая проходит через вершину второй параболы. Точки пересечения: вершина $(-3; 9)$ и точка на правой ветви первой параболы. Итого 2 точки.
— При $m > 9$ прямая имеет 1 точку пересечения с правой ветвью первой параболы.

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = -4$ и $m = 9$.

Ответ: -4; 9

Источник: ФИПИ