Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. Рассмотрим треугольник $AED$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle EAD + \angle EDA = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AED = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

3. Обозначим сторону $BE$ через $x$. Тогда из подобия следует, что $\frac{BE}{AE} = \frac{1}{3}$. Заметим, что $AE = AB + BE = 13 + x$. Подставим это в пропорцию: $\frac{x}{13 + x} = \frac{1}{3}$. Решим уравнение: $3x = 13 + x$, откуда $2x = 13$, значит $x = 6,5$. Таким образом, $BE = 6,5$, а $AE = 13 + 6,5 = 19,5$.

4. По условию окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в некоторой точке $K$. Точка $E$ лежит на прямой $CD$, поэтому отрезок $EK$ является касательной к окружности, а отрезок $EA$ — секущей, проходящей через точки $B$ и $A$. По свойству касательной и секущей: $EK^2 = EB \cdot EA$. Подставим значения: $EK^2 = 6,5 \cdot 19,5 = 6,5 \cdot (3 \cdot 6,5) = 3 \cdot 6,5^2$. Отсюда $EK = 6,5\sqrt{3}$.

5. В прямоугольном треугольнике $AED$ прямая $CD$ совпадает с катетом $ED$. Окружность касается этого катета в точке $K$. Центр окружности $O$ должен лежать на перпендикуляре к касательной, проведенном из точки касания. Так как $\angle AED = 90^\circ$, то катет $AE$ перпендикулярен катету $ED$. Значит, радиус $OK$, проведенный в точку касания, параллелен стороне $AE$.

6. Пусть $R$ — радиус окружности. Центр $O$ равноудален от точек $A$ и $B$, значит, он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$. Тогда $AM = MB = 13 : 2 = 6,5$. Расстояние от точки $E$ до точки $M$ равно $EM = EB + BM = 6,5 + 6,5 = 13$.

7. Рассмотрим прямоугольник, образованный проекциями центра $O$ на стороны угла $E$. Расстояние от $O$ до прямой $ED$ равно $R$ (это радиус $OK$). Расстояние от $O$ до прямой $AE$ равно расстоянию от $E$ до проекции точки $O$ на $ED$. Но проще заметить, что координаты центра $O$ в системе координат с началом в $E$ и осями вдоль $EA$ и $ED$ будут $(13; R)$, так как проекция $O$ на $EA$ — это середина $AB$, то есть точка $M$, и $EM = 13$. А проекция $O$ на $ED$ — это точка $K$, и $EK = 6,5\sqrt{3}$.

8. Таким образом, расстояние от центра $O$ до точки $B$ равно радиусу $R$. По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой $OB$ и катетами $MB$ и $OM$ (где $OM = EK = 6,5\sqrt{3}$):
$R^2 = MB^2 + OM^2$
$R^2 = 6,5^2 + (6,5\sqrt{3})^2$
$R^2 = 6,5^2 + 3 \cdot 6,5^2 = 4 \cdot 6,5^2$
$R = \sqrt{4 \cdot 6,5^2} = 2 \cdot 6,5 = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ