Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| - |x| - 2x$ сначала раскроем модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Раскрытие модуля:
Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$y = x \cdot x - x - 2x = x^2 - 3x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Найдём значение $y$ в вершине: $y(1,5) = 1,5^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.
Точка стыка при $x = 0$: $y(0) = 0$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$y = x \cdot (-x) - (-x) - 2x = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{-2} = -0,5$.
Найдём значение $y$ в вершине: $y(-0,5) = -(-0,5)^2 - (-0,5) = -0,25 + 0,5 = 0,25$.
Точка стыка при $x = 0$: $y(0) = 0$.

2. Описание графика:
График состоит из двух частей парабол:
— На промежутке $(-\infty; 0)$ это часть параболы $y = -x^2 - x$ с вершиной $(-0,5; 0,25)$.
— На промежутке $[0; +\infty)$ это часть параболы $y = x^2 - 3x$ с вершиной $(1,5; -2,25)$.
Обе части соединяются в начале координат $(0; 0)$.

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— Если $m > 0,25$, прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
— Если $m = 0,25$, прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (2 точки).
— Если $0 < m < 0,25$, прямая пересекает левую параболу в двух точках и правую в одной (3 точки).
— Если $m = 0$, прямая проходит через точку стыка $(0; 0)$ и пересекает каждую параболу ещё в одной точке (всего 2 точки: $x=0$, $x=-1$ и $x=3$, итого 3 точки). Уточнение: при $y=0$ имеем корни $x=0$, $x=-1$ и $x=3$, значит 3 точки.
— Если $-2,25 < m < 0$, прямая пересекает левую ветвь в одной точке и правую в двух (3 точки).
— Если $m = -2,25$, прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (2 точки).
— Если $m < -2,25$, прямая пересекает только левую ветвь (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = 0,25$ и $m = -2,25$.

Ответ: -2,25; 0,25

Источник: ФИПИ