Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Углы при одном из оснований трапеции равны $86 °$ и $4 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Обозначим углы при основании $AD$ : $\angle A = 86^{\circ}$ и $\angle D = 4^{\circ}$ . Заметим, что сумма этих углов равна $86^{\circ} + 4^{\circ} = 90^{\circ}$ .

2) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$ . Рассмотрим треугольник $ASD$ . Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , поэтому $\angle ASD = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ . Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3) В условии сказано, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 4 и 1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — это средняя линия трапеции. Пусть её длина равна $m = 4$ . Тогда по формуле средней линии: $\frac{AD + BC}{2} = 4$ , откуда $AD + BC = 8$ .

4) Второй отрезок соединяет середины оснований. Пусть $M$ — середина $BC$ , а $N$ — середина $AD$ . Отрезок $MN = 1$ . В прямоугольном треугольнике $ASD$ медиана $SN$ , проведённая к гипотенузе $AD$ , равна её половине: $SN = \frac{AD}{2}$ . Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ (так как $BC \parallel AD$ ) медиана $SM$ равна половине гипотенузы $BC$ : $SM = \frac{BC}{2}$ .

5) Точки $S$ , $M$ и $N$ лежат на одной прямой, так как медианы подобных треугольников $BSC$ и $ASD$ , выходящие из общей вершины $S$ , совпадают. Тогда длину отрезка $MN$ можно выразить как разность медиан: $MN = SN - SM$ .
Подставим известные значения: $1 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$ , откуда $AD - BC = 2$ .

6) Составим систему уравнений для нахождения оснований:
$\begin{cases} AD + BC = 8 \\ AD - BC = 2 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 10 \Rightarrow AD = 5$ .
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6 \Rightarrow BC = 3$ .

Ответ: 3; 5.

Источник: ФИПИ