Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Обозначим углы при основании $AD$: $\angle A = 86^{\circ}$ и $\angle D = 4^{\circ}$. Заметим, что сумма этих углов равна $86^{\circ} + 4^{\circ} = 90^{\circ}$.

2) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle ASD = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3) В условии сказано, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 4 и 1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — это средняя линия трапеции. Пусть её длина равна $m = 4$. Тогда по формуле средней линии: $\frac{AD + BC}{2} = 4$, откуда $AD + BC = 8$.

4) Второй отрезок соединяет середины оснований. Пусть $M$ — середина $BC$, а $N$ — середина $AD$. Отрезок $MN = 1$. В прямоугольном треугольнике $ASD$ медиана $SN$, проведённая к гипотенузе $AD$, равна её половине: $SN = \frac{AD}{2}$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ (так как $BC \parallel AD$) медиана $SM$ равна половине гипотенузы $BC$: $SM = \frac{BC}{2}$.

5) Точки $S$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой, так как медианы подобных треугольников $BSC$ и $ASD$, выходящие из общей вершины $S$, совпадают. Тогда длину отрезка $MN$ можно выразить как разность медиан: $MN = SN - SM$.
Подставим известные значения: $1 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$, откуда $AD - BC = 2$.

6) Составим систему уравнений для нахождения оснований:
$\begin{cases} AD + BC = 8 \\ AD - BC = 2 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 10 \Rightarrow AD = 5$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6 \Rightarrow BC = 3$.

Ответ: 3; 5.

Источник: ФИПИ