Задание №22 — Функции

Решение.

Функция кусочно-заданная. Построим график по частям.

1) Часть $y=x^{2}+2x+1$ при $x\ge -2$.
Заметим, что $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$ — это парабола ветвями вверх с вершиной $(-1;\,0)$.
На левом краю участка: при $x=-2$ получаем $y=(-2+1)^{2}=1$, то есть точка $(-2;\,1)$ принадлежит графику.
Итак, на $[-2;+\infty)$ график идёт от точки $(-2;1)$ вниз к вершине $(-1;0)$ и далее вверх до $+\infty$.

2) Часть $y=x+6$ при $x<-2$.
Это прямая. При $x\to -2^{-}$ значение $y\to 4$ — точка $(-2;\,4)$ выколота. При $x\to -\infty$ имеем $y\to -\infty$. Значит, луч покрывает все значения $y<4$, причём каждое ровно один раз.

3) Число общих точек с прямой $y=m$.
Посчитаем отдельно пересечения с параболой и с лучом.
Парабола $(x+1)^{2}=m$, $x\ge-2$: при $m<0$ — 0 точек; при $m=0$ — 1 точка (вершина); при $01$ — 1 точка (корень $-1-\sqrt{m}<-2$ выпадает из области).
Луч $x+6=m$, $x<-2$: корень $x=m-6<-2$ существует при $m<4$ — тогда 1 точка; при $m\ge 4$ — 0 точек.

Складываем:
— $m<0$: $0+1=1$;
— $m=0$: $1+1=2$;
— 0 — \(1 — \(m=4: $1+0=1$;
— $m>4$: $1+0=1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=0$ и при 1 <p><strong>Ответ:</strong> \(0; \(1