Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$4x^2 - 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(4x - 5) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $4x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 1,25$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1,25) \cup (1,25; +\infty)$.

2. Преобразование функции.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = \frac{4x - 5}{x(4x - 5)}$
При условии, что $x \neq 1,25$, мы можем сократить на выражение $(4x - 5)$:
$y = \frac{1}{x}$
Графиком данной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной «выколотой» точкой. Найдем координаты этой точки. Если $x = 1,25$, то $y = \frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = 0,8$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(1,25; 0,8)$. Также график не существует при $x = 0$ (асимптота).

3. Исследование пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Нам нужно найти значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Составим уравнение:
$kx = \frac{1}{x}$
$kx^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{k}$

Рассмотрим возможные случаи:
а) Если $k < 0$, то уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ не имеет корней. Общих точек нет.
б) Если $k = 0$, то прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не пересекает гиперболу. Общих точек нет.
в) Если $k > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это дает две точки пересечения.
Однако, мы должны учитывать область определения. Если один из корней совпадает с абсциссой «выколотой» точки ($x = 1,25$), то эта точка пересечения исчезает, и остается ровно одна общая точка.

4. Нахождение критических значений $k$.
Подставим координаты «выколотой» точки $A(1,25; 0,8)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$0,8 = k \cdot 1,25$
$k = \frac{0,8}{1,25} = \frac{80}{125} = \frac{16}{25} = 0,64$.
При $k = 0,64$ прямая проходит через «дырку» в графике и пересекает гиперболу в другой точке (симметричной относительно начала координат), значит, общая точка будет ровно одна.

Также стоит проверить, может ли прямая быть касательной к гиперболе. Касание происходит, когда уравнение $kx^2 = 1$ имеет ровно один корень. Но это возможно только если $x = 0$, что невозможно для гиперболы $y = 1/x$. Следовательно, случаев касания здесь нет.

Ответ: 0,64

Источник: ФИПИ