Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Найдём значения $x$, при которых выражение не имеет смысла:
$x^2 + 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 5) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.
Таким образом, область определения функции: все действительные числа, кроме $x = 0$ и $x = -5$.

2. Упрощение выражения.
Преобразуем формулу функции на её области определения:
$y = 1 - \frac{x + 5}{x(x + 5)}$
Сократим дробь на $(x + 5)$, учитывая, что $x \neq -5$:
$y = 1 - \frac{1}{x}$.
Следовательно, график данной функции совпадает с графиком функции $y = 1 - \frac{1}{x}$ везде, кроме точки с абсциссой $x = -5$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = 1 - \frac{1}{x}$ является гипербола, полученная из гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом на $1$ единицу вверх вдоль оси $Oy$.
У этой гиперболы есть две асимптоты: вертикальная $x = 0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y = 1$.
Найдём координаты "выколотой" точки. При $x = -5$:
$y = 1 - \frac{1}{-5} = 1 + 0,2 = 1,2$.
Точка с координатами $(-5; 1,2)$ будет отсутствовать на графике.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Для функции $y = 1 - \frac{1}{x}$ асимптотой является прямая $y = 1$. Значит, при $m = 1$ общих точек нет.
2) Если прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что при $x = -5$ значение функции равно $1,2$. Значит, при $m = 1,2$ прямая $y = 1,2$ пройдёт через пустое место в графике и не пересечёт его.

Таким образом, искомые значения $m$ — это $1$ и $1,2$.

Ответ: 1; 1,2

Источник: ФИПИ