Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$6x^2 + 7x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(6x + 7) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $6x + 7 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{7}{6}$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -\frac{7}{6}) \cup (-\frac{7}{6}; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции на её области определения:
$y = \frac{6x + 7}{x(6x + 7)}$
Сократив на общий множитель $(6x + 7)$, получим:
$y = \frac{1}{x}$ при $x \neq -\frac{7}{6}$ и $x \neq 0$.
Графиком данной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной "выколотой" точкой. Найдём координаты этой точки. Подставим $x = -\frac{7}{6}$ в упрощённое уравнение:
$y = \frac{1}{-7/6} = -\frac{6}{7}$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(-\frac{7}{6}; -\frac{6}{7})$.

3. Теперь рассмотрим прямую $y = kx$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Нам нужно найти такие значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. Возможны два случая:
Случай А: Прямая $y = kx$ проходит через "выколотую" точку $A(-\frac{7}{6}; -\frac{6}{7})$. В этом случае прямая пересекает гиперболу в точке $A$, но так как этой точки на графике нет, пересечение в другом месте даст ровно одну общую точку.
Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
$-\frac{6}{7} = k \cdot (-\frac{7}{6})$
$k = -\frac{6}{7} : (-\frac{7}{6}) = -\frac{6}{7} \cdot (-\frac{6}{7}) = \frac{36}{49}$.
При $k = \frac{36}{49}$ прямая пересекает гиперболу в двух точках, одна из которых выколота, значит, общая точка одна.

Случай Б: Прямая $y = kx$ касается гиперболы $y = \frac{1}{x}$.
Приравняем выражения: $kx = \frac{1}{x}$.
Умножим на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$): $kx^2 = 1$.
Это уравнение имеет решения, только если $k > 0$. Тогда $x^2 = \frac{1}{k}$.
Чтобы точка была ровно одна, дискриминант уравнения $kx^2 - 1 = 0$ должен быть равен нулю, что в данном виде уравнения $ax^2 + c = 0$ невозможно (либо 2 корня, либо 0). Однако, в контексте касания гиперболы $y = \frac{1}{x}$ прямыми вида $y = kx$, мы видим, что при $k > 0$ всегда будет две точки пересечения ($x = \pm \sqrt{1/k}$), а при $k < 0$ точек пересечения не будет вовсе.

5. Проверим еще раз: уравнение $kx = \frac{1}{x}$ превращается в $kx^2 = 1$.
Если $k \leq 0$, корней нет.
Если $k > 0$, то $x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$. Это всегда два корня (две точки пересечения).
Единственный способ получить ровно одну точку — это если один из этих двух корней совпадёт с выколотой точкой $x = -\frac{7}{6}$. Мы уже нашли это значение $k = \frac{36}{49}$.
При $k = \frac{36}{49}$ корни уравнения: $x_1 = -\frac{7}{6}$ (выколота) и $x_2 = \frac{7}{6}$ (лежит на графике). Значит, общая точка действительно одна.

Ответ: $\frac{36}{49}$

Источник: ФИПИ