Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса $B E$ и медиана $A D$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$ . По условию $BE \perp AD$ . Рассмотрим треугольник $ABD$ . В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$ ) и высотой (так как $BE \perp AD$ ).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$ . Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$ , то точка $D$ — середина стороны $BC$ , следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$ . Пусть $AB = x$ , тогда $BC = 2x$ .

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{16}{2} = 8$ .

4) Рассмотрим треугольник $BCE$ . В нём отрезок $CD$ равен $DB$ , то есть $D$ — середина $BC$ . Проведём через точку $D$ прямую $DK$ , параллельную $BE$ ( $K$ лежит на $AC$ ). Тогда $DK$ — средняя линия треугольника $BCE$ . Отсюда $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{16}{2} = 8$ и $EK = KC$ .

5) Рассмотрим треугольник $ADK$ . В нём отрезок $OE$ параллелен $DK$ (так как $BE \parallel DK$ ) и $O$ — середина $AD$ . Значит, $OE$ — средняя линия треугольника $ADK$ . Отсюда $OE = \frac{1}{2} DK = \frac{8}{2} = 4$ и $AE = EK$ . Таким образом, $AE = EK = KC$ , то есть $AC = 3 \cdot AE$ .

6) Найдём длину $BO$ : $BO = BE - OE = 16 - 4 = 12$ .

7) Из прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора найдём $AB$ :
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ .
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 8\sqrt{13}$ .

8) Из прямоугольного треугольника $AOE$ по теореме Пифагора найдём $AE$ :
$AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ .
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 12\sqrt{5}$ .

Ответ: $4\sqrt{13}$ ; $8\sqrt{13}$ ; $12\sqrt{5}$ .

Источник: ФИПИ