Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{16}{2} = 8$.

4) Рассмотрим треугольник $BCE$. В нём отрезок $CD$ равен $DB$, то есть $D$ — середина $BC$. Проведём через точку $D$ прямую $DK$, параллельную $BE$ ($K$ лежит на $AC$). Тогда $DK$ — средняя линия треугольника $BCE$. Отсюда $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{16}{2} = 8$ и $EK = KC$.

5) Рассмотрим треугольник $ADK$. В нём отрезок $OE$ параллелен $DK$ (так как $BE \parallel DK$) и $O$ — середина $AD$. Значит, $OE$ — средняя линия треугольника $ADK$. Отсюда $OE = \frac{1}{2} DK = \frac{8}{2} = 4$ и $AE = EK$. Таким образом, $AE = EK = KC$, то есть $AC = 3 \cdot AE$.

6) Найдём длину $BO$: $BO = BE - OE = 16 - 4 = 12$.

7) Из прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора найдём $AB$:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 8\sqrt{13}$.

8) Из прямоугольного треугольника $AOE$ по теореме Пифагора найдём $AE$:
$AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 12\sqrt{5}$.

Ответ: $4\sqrt{13}$; $8\sqrt{13}$; $12\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ