Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x < 1$ функция имеет вид $y = x + 3$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.
Для построения выберем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
Если $x = 1$, то $y = 1 + 3 = 4$. Точка $(1; 4)$ будет «выколотой» для этой части графика, так как неравенство строгое, но она совпадает с началом следующего участка.

2) На промежутке $x \geq 1$ функция имеет вид $y = x^{2} - 4x + 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_{0} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
Вершина параболы — точка $(2; 1)$.
Найдём значение функции на границе участка: при $x = 1$, $y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 5 = 2$.
Дополнительная точка: при $x = 3$, $y = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.

3) Заметим, что в точке $x = 1$ происходит «скачок» функции: слева значение стремится к $4$, а справа начинается от $2$. Значит, график состоит из луча и части параболы.

4) Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проследим за количеством пересечений при изменении $m$:
— При $m < 1$ прямая находится ниже вершины параболы и пересекает только левый луч. Итого: 1 точка.
— При $m = 1$ прямая проходит через вершину параболы и пересекает луч. Итого: 2 точки. Это значение нам подходит.
— При $1 < m < 2$ прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Итого: 3 точки.
— При $m = 2$ прямая проходит через «начальную» точку параболы $(1; 2)$, пересекает параболу ещё в одной точке и пересекает луч. Итого: 3 точки.
— При $2 < m < 4$ прямая пересекает правую ветвь параболы в одной точке и луч в одной точке. Итого: 2 точки. Этот интервал нам подходит.
— При $m = 4$ прямая проходит через точку $(1; 4)$. Так как для луча эта точка выколота, а для параболы значение $4$ достигается только при $x > 1$, то будет только 1 точка пересечения (на параболе).
— При $m > 4$ прямая пересекает только правую ветвь параболы. Итого: 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки график имеет при $m = 1$ и в интервале $2 < m < 4$.

Ответ: $1; (2; 4)$

Источник: ФИПИ