Задание 22

Построение графика функции · 157 заданий

Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = x² + 6 x + 7; x + 10 & при; при & x ⩾ - 4; x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² + 14 x - 3 | x + 8 | + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 6 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x - 3 | - x² + 8 x - 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x + 6 | - x² - 11 x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 2 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x + 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = - x² + 8 x - 17; - x - 2 & при; при & x ⩾ 2; x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² - 9 x - 2 | x - 4 | + 20 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = ((0,5 x² + x) · | x |)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Функции и графики

Задание №22 — Алгебраические выражения

Постройте график функции

$y = \frac{1}{2} \left(\right. \left|\right. \frac{x}{1,5} - \frac{1,5}{x} \left|\right. + \frac{x}{1,5} + \frac{1,5}{x} \left.\right)$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Упростим формулу. Обозначим $a=\dfrac{x}{1,5}=\dfrac{2x}{3}$ и $b=\dfrac{1,5}{x}=\dfrac{3}{2x}$ . Тогда
$y=\dfrac{1}{2}\big(|a-b|+a+b\big)=\max(a,b)$ ,
так как $\max(a,b)=\dfrac{a+b+|a-b|}{2}$ . Область определения: $x\neq 0$ .

Сравним $a$ и $b$ через знак разности: $a-b=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3}{2x}=\dfrac{4x^{2}-9}{6x}$ . Нули числителя $x=\pm1,5$ . Раскроем модуль методом интервалов:
— при $x\ge 1,5$ и при $-1,5 — при \(0 Итак, график состоит из четырёх кусков:<br> — луч \(y=\dfrac{2x}{3}$ при $x\ge 1,5$ : от точки $(1,5;\,1)$ вверх до $+\infty$ ;
— ветвь гиперболы $y=\dfrac{3}{2x}$ при $0 — отрезок прямой \(y=\dfrac{2x}{3}$ при $-1,5 — ветвь гиперболы \(y=\dfrac{3}{2x}$ при $x\le -1,5$ : от $-1$ (при $x=-1,5$ ) стремится к $0$ снизу (при $x\to-\infty$ ). Заметим, что при $x>0$ по неравенству о среднем $\max\big(\tfrac{2x}{3},\tfrac{3}{2x}\big)\ge\sqrt{\tfrac{2x}{3}\cdot\tfrac{3}{2x}}=1$ , причём равенство только при $x=1,5$ . Поэтому справа всегда $y\ge 1$ . Аналогично при $x<0$ выполняется $-1\le y<0$ , причём $y=-1$ только при $x=-1,5$ . Число общих точек с прямой $y=m$ :
— $m>1$ : луч и правая ветвь гиперболы — 2 точки;
— $m=1$ : только стык $(1,5;\,1)$ — 1 точка;
— $0\le m<1$ : точек нет (справа $y\ge1$ , слева $y<0$ ) — 0 точек;
— $-1 — \(m=-1$ : только стык $(-1,5;\,-1)$ — 1 точка;
— $m<-1$ : точек нет — 0 точек. Ровно одна общая точка получается при $m=1$ и при $m=-1$ . Ответ: $-1$ ; $1$