Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Упростим формулу. Обозначим $a=\dfrac{x}{1,5}=\dfrac{2x}{3}$ и $b=\dfrac{1,5}{x}=\dfrac{3}{2x}$. Тогда
$y=\dfrac{1}{2}\big(|a-b|+a+b\big)=\max(a,b)$,
так как $\max(a,b)=\dfrac{a+b+|a-b|}{2}$. Область определения: $x\neq 0$.

Сравним $a$ и $b$ через знак разности: $a-b=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3}{2x}=\dfrac{4x^{2}-9}{6x}$. Нули числителя $x=\pm1,5$. Раскроем модуль методом интервалов:
— при $x\ge 1,5$ и при -1,5 — при \(0 <p>Итак, график состоит из четырёх кусков:<br> — луч \(y=\dfrac{2x}{3} при $x\ge 1,5$: от точки $(1,5;\,1)$ вверх до $+\infty$;
— ветвь гиперболы $y=\dfrac{3}{2x}$ при 0 — отрезок прямой \(y=\dfrac{2x}{3} при -1,5 — ветвь гиперболы \(y=\dfrac{3}{2x} при $x\le -1,5$: от $-1$ (при $x=-1,5$) стремится к $0$ снизу (при $x\to-\infty$).

Заметим, что при $x>0$ по неравенству о среднем $\max\big(\tfrac{2x}{3},\tfrac{3}{2x}\big)\ge\sqrt{\tfrac{2x}{3}\cdot\tfrac{3}{2x}}=1$, причём равенство только при $x=1,5$. Поэтому справа всегда $y\ge 1$. Аналогично при $x<0$ выполняется $-1\le y<0$, причём $y=-1$ только при $x=-1,5$.

Число общих точек с прямой $y=m$:
— $m>1$: луч и правая ветвь гиперболы — 2 точки;
— $m=1$: только стык $(1,5;\,1)$ — 1 точка;
— $0\le m<1$: точек нет (справа $y\ge1$, слева $y<0$) — 0 точек;
— -1 — \(m=-1: только стык $(-1,5;\,-1)$ — 1 точка;
— $m<-1$: точек нет — 0 точек.

Ровно одна общая точка получается при $m=1$ и при $m=-1$.

Ответ: $-1$; $1$