Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин равны, точка $M$ является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника. При этом отрезки $MA, MB, MC, MD$ являются радиусами этой окружности ($R$).

3. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AD$ и $MA = MD$, то отрезок $AD$ является диаметром этой окружности. Следовательно, длина $AD = 2R$.

4. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны равны радиусу $R$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим:
- в $\triangle AMB$: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$;
- в $\triangle BMC$: $\angle MBC = \angle MCB = \beta$;
- в $\triangle CMD$: $\angle MCD = \angle MDC = \gamma$.

5. Выразим углы $B$ и $C$ четырёхугольника через введённые переменные:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \beta = 126^\circ$;
$\angle C = \angle MCB + \angle MCD = \beta + \gamma = 99^\circ$.

6. Сумма углов четырёхугольника, вписанного в окружность, где одна сторона является диаметром, также может быть найдена через сумму углов треугольников. Заметим, что $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \gamma$. Сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна $360^\circ$:
$\alpha + (\alpha + \beta) + (\beta + \gamma) + \gamma = 360^\circ$;
$2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ$;
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

7. Теперь найдём угол $\beta$. Мы знаем, что $\alpha + \beta = 126^\circ$ и $\beta + \gamma = 99^\circ$. Сложим эти уравнения:
$(\alpha + \beta) + (\beta + \gamma) = 126^\circ + 99^\circ$;
$\alpha + 2\beta + \gamma = 225^\circ$.
Вычтем из этого уравнения равенство $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$:
$(\alpha + 2\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 225^\circ - 180^\circ$;
$\beta = 45^\circ$.

8. Рассмотрим треугольник $BMC$. В нём $\angle MBC = \angle MCB = \beta = 45^\circ$. Тогда угол при вершине $M$ равен:
$\angle BMC = 180^\circ - (\beta + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $BMC$ — прямоугольный и равнобедренный.

9. По теореме Пифагора для $\triangle BMC$:
$MB^2 + MC^2 = BC^2$;
$R^2 + R^2 = 11^2$;
$2R^2 = 121$;
$R^2 = \frac{121}{2}$;
$R = \sqrt{\frac{121}{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2}$.

10. Найдём длину $AD$:
$AD = 2R = 2 \cdot \frac{11\sqrt{2}}{2} = 11\sqrt{2}$.

Ответ: $11\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ