Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. Пусть эта полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BKC$ и $\angle BPC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^{\circ}$).

2) Отрезки $CK$ и $BP$ являются высотами треугольника $ABC$, так как они перпендикулярны сторонам $AB$ и $AC$. По условию $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр), значит, точка $H$ лежит на пересечении $CK$, $BP$ и данной в условии высоты $AD$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём $CP$ — высота, проведённая к гипотенузе $AD$ (так как $BP \perp AC$, то и $HP \perp AC$). Однако удобнее рассмотреть подобие треугольников. Треугольники $\triangle APH$ и $\triangle ADC$ подобны по двум углам (угол $\angle A$ общий, $\angle APH = \angle ADC = 90^{\circ}$). Из подобия следует: $\frac{AH}{AC} = \frac{AP}{AD}$, откуда $AH \cdot AD = AC \cdot AP$.

4) Вспомним свойство секущих для окружности. Для точки $A$, лежащей вне окружности, произведение всей секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная. Для секущей $AC$ это $AC \cdot AP$. Также через точку $A$ проходит прямая, содержащая высоту $AD$. Эта прямая пересекает полуокружность в точке $M$. По свойству касательной и секущей (или в данном случае, используя точку на окружности), если мы продолжим полуокружность до полной окружности, высота $AD$ пересечет её в двух точках. Пусть $M'$ — вторая точка пересечения. В силу симметрии относительно диаметра $BC$, точка $D$ будет серединой хорды $MM'$, но в нашей задаче точка $M$ лежит на самой высоте. Воспользуемся свойством точки $M$ на окружности: произведение отрезков секущей $AM \cdot AM' = AC \cdot AP$. Однако проще применить свойство степени точки $A$ относительно окружности с диаметром $BC$. Отрезок $AD$ пересекает окружность в точке $M$. Обозначим вторую точку пересечения прямой $AD$ с окружностью как $M_1$. Так как $BC$ — диаметр, перпендикулярный хорде $MM_1$, то $D$ — середина $MM_1$. Значит, $MD = DM_1 = 3$.

5) Вычислим длины отрезков на высоте: $AD = 9$, $MD = 3$. Тогда $AM = AD - MD = 9 - 3 = 6$. Длина всего отрезка $AM_1 = AD + DM_1 = 9 + 3 = 12$. По свойству секущих: $AP \cdot AC = AM \cdot AM_1 = 6 \cdot 12 = 72$.

6) Из шага 3 мы знаем, что $AH \cdot AD = AP \cdot AC$. Подставим известные значения: $AH \cdot 9 = 72$. Отсюда $AH = \frac{72}{9} = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ