Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 10 : 2 = 5$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции $BC$ и $AD$. Эта прямая пересечёт сторону $CD$ в точке $K$. По теореме Фалеса точка $K$ будет серединой стороны $CD$, а отрезок $MK$ — средней линией трапеции.

2) Рассмотрим треугольник $MDK$. По условию $DK$ — биссектриса угла $D$, значит, $\angle ADK = \angle KDC$. Так как $MK \parallel AD$, то накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей $DK$ равны: $\angle ADK = \angle MKD$. Следовательно, $\angle KDC = \angle MKD$, и треугольник $MDK$ является равнобедренным с основанием $DK$. Отсюда $MK = MD$.

3) Так как $K$ — середина $CD$, то $CK = KD = 26 : 2 = 13$. Поскольку треугольник $MDK$ равнобедренный, то $MK = KD = 13$. Средняя линия трапеции $MK$ равна полусумме оснований: $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $13 = \frac{1 + AD}{2}$, откуда $1 + AD = 26$, значит, $AD = 25$.

4) Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота. Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH_1$ и $CH_2$ к нижнему основанию $AD$. Обозначим $AH_1 = x$. Тогда $H_1H_2 = BC = 1$, а $H_2D = AD - AH_1 - H_1H_2 = 25 - x - 1 = 24 - x$.

5) Высоты $BH_1$ и $CH_2$ равны между собой. Обозначим их за $h$. По теореме Пифагора из треугольников $ABH_1$ и $CDH_2$:
$h^2 = AB^2 - AH_1^2 = 10^2 - x^2 = 100 - x^2$
$h^2 = CD^2 - H_2D^2 = 26^2 - (24 - x)^2 = 676 - (576 - 48x + x^2) = 100 + 48x - x^2$

6) Приравняем выражения для $h^2$:
$100 - x^2 = 100 + 48x - x^2$
$48x = 0$, следовательно, $x = 0$.
Это означает, что точка $H_1$ совпадает с точкой $A$, и сторона $AB$ перпендикулярна основаниям (трапеция прямоугольная). Тогда высота $h = AB = 10$.

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{1 + 25}{2} \cdot 10 = 13 \cdot 10 = 130$.

Ответ: 130

Источник: ФИПИ