Задание №25 — Геометрия

#48456Задание №25ФИПИ

ТреугольникОкружность и круг

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 60$ , $A C = 80$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $\angle BAC = \alpha$ . Проведём касательную $AK$ к описанной окружности в точке $A$ . По свойству угла между касательной и хордой, угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть $\angle KAB = \angle ACB$ .

2) Радиус $AO$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AK$ . По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна $AO$ . Следовательно, прямые $AK$ и $BD$ параллельны (так как они обе перпендикулярны одной и той же прямой $AO$ ).

3) Так как $AK \parallel BD$ , то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$ .

4) Из пунктов 1 и 3 следует, что $\angle ACB = \angle ABD$ . Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ :
— угол $A$ у них общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Значит, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

5) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Подставим известные значения сторон $AB = 60$ и $AC = 80$ :
$\frac{60}{80} = \frac{AD}{60}$ .
Сократим дробь в левой части: $\frac{3}{4} = \frac{AD}{60}$ .

6) Найдём длину отрезка $AD$ :
$AD = \frac{3 \cdot 60}{4} = 3 \cdot 15 = 45$ .

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$ . Тогда:
$CD = AC - AD = 80 - 45 = 35$ .

Ответ: 35

Источник: ФИПИ