Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Боковые стороны $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 6 и 10,
а основание $B C$ равно 1. Биссектриса угла $A D C$ проходит через середину стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$ . По условию $AM = MB = 6 : 2 = 3$ . Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$ . Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$ .

2) По свойству средней линии $MK \parallel AD$ . Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$ : угол $KDM$ равен углу $MDK$ (так как $DM$ — биссектриса угла $D$ ), а угол $MDK$ равен углу $KMD$ как накрест лежащие при $MK \parallel AD$ . Следовательно, в треугольнике $MKD$ углы при основании $MD$ равны: $\angle KDM = \angle KMD$ .

3) Значит, треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $MD$ , откуда $MK = KD$ . Так как $MK$ — средняя линия, точка $K$ является серединой стороны $CD$ , то есть $KD = CD : 2 = 10 : 2 = 5$ . Следовательно, $MK = 5$ .

4) Используем формулу средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$ . Подставим известные значения: $5 = \frac{1 + AD}{2}$ . Отсюда $1 + AD = 10$ , значит, нижнее основание $AD = 9$ .

5) Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота. Проведём высоты $BH$ и $CE$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$ . Тогда $ED = AD - BC - AH = 9 - 1 - x = 8 - x$ .
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCE$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h^2$ :
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$
$h^2 = CD^2 - ED^2 = 10^2 - (8 - x)^2 = 100 - (64 - 16x + x^2) = 36 + 16x - x^2$

6) Приравняем выражения для $h^2$ :
$36 - x^2 = 36 + 16x - x^2$
$16x = 0$ , откуда $x = 0$ .
Это означает, что точка $H$ совпадает с точкой $A$ , и боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям (трапеция прямоугольная). Тогда высота $h = AB = 6$ .

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$ :
$S = \frac{1 + 9}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$ .

Ответ: 30

Источник: ФИПИ