Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 6 : 2 = 3$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) По свойству средней линии $MK \parallel AD$. Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$: угол $KDM$ равен углу $MDK$ (так как $DM$ — биссектриса угла $D$), а угол $MDK$ равен углу $KMD$ как накрест лежащие при $MK \parallel AD$. Следовательно, в треугольнике $MKD$ углы при основании $MD$ равны: $\angle KDM = \angle KMD$.

3) Значит, треугольник $MKD$ — равнобедренный с основанием $MD$, откуда $MK = KD$. Так как $MK$ — средняя линия, точка $K$ является серединой стороны $CD$, то есть $KD = CD : 2 = 10 : 2 = 5$. Следовательно, $MK = 5$.

4) Используем формулу средней линии трапеции: $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $5 = \frac{1 + AD}{2}$. Отсюда $1 + AD = 10$, значит, нижнее основание $AD = 9$.

5) Для нахождения площади трапеции нам нужна её высота. Проведём высоты $BH$ и $CE$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$. Тогда $ED = AD - BC - AH = 9 - 1 - x = 8 - x$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCE$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h^2$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$
$h^2 = CD^2 - ED^2 = 10^2 - (8 - x)^2 = 100 - (64 - 16x + x^2) = 36 + 16x - x^2$

6) Приравняем выражения для $h^2$:
$36 - x^2 = 36 + 16x - x^2$
$16x = 0$, откуда $x = 0$.
Это означает, что точка $H$ совпадает с точкой $A$, и боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям (трапеция прямоугольная). Тогда высота $h = AB = 6$.

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{1 + 9}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ