Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Раскроем модуль в функции $y=|x|(x-1)-5x$.

1) При $x\ge0$: $|x|=x$, поэтому $y=x(x-1)-5x=x^{2}-6x$. Это парабола ветвями вверх, вершина: $x_{0}=3$, $y_{0}=9-18=-9$, то есть $(3;-9)$. При $x=0$ имеем $y=0$.

2) При $x<0$: $|x|=-x$, поэтому $y=-x(x-1)-5x=-x^{2}-4x$. Это парабола ветвями вниз, вершина: $x_{0}=-2$, $y_{0}=-4+8=4$, то есть $(-2;4)$. При $x\to0^{-}$ имеем $y\to0$.

Обе части стыкуются в точке $(0;0)$. Левая парабола (для $x<0$) поднимается из $-\infty$ до вершины $(-2;4)$, затем спускается к $(0;0)$; правая парабола (для $x\ge0$) опускается от $(0;0)$ до вершины $(3;-9)$, затем растёт до $+\infty$.

Число общих точек с прямой $y=m$.
Правая ветвь $x^{2}-6x=m$, $x\ge0$: корни $3\pm\sqrt{9+m}$. При $m<-9$ — 0; при $m=-9$ — 1 (вершина); при $-90$ — 1 (отрицательный корень выпадает).
Левая ветвь $-x^{2}-4x=m$, $x<0$: корни $-2\pm\sqrt{4-m}$. При $m>4$ — 0; при $m=4$ — 1 (вершина); при 0 <p>Складываем:<br> — \(m<-9: $0+1=1$;
— $m=-9$: $1+1=2$;
— -9 — \(m=0: правая ветвь даёт $x=0$ и $x=6$ (2 точки), левая — $x=-4$ (1 точка), всего $3$;
— 0 — \(m=4: $1+1=2$;
— $m>4$: $1+0=1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=-9$ и $m=4$. При $m=0$ точек три (нельзя забывать точку $(-4;0)$ на левой ветви), поэтому это значение не подходит.

Ответ: $-9$; $4$