Задание №25 — Геометрия

#48459Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 34 и 2,
а сумма углов при основании $A D$ равна $90 °$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D$ , если $A B = 24$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ . Рассмотрим треугольник $AKD$ . По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$ , то есть $\angle KAD + \angle KDA = 90^\circ$ . Следовательно, третий угол треугольника $\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные). Запишем отношение подобия:
$\frac{BK}{AK} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$ .
Подставим известные значения оснований: $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{34} = \frac{1}{17}$ .
Пусть $BK = x$ , тогда $AK = AB + BK = 24 + x$ .
Из подобия имеем: $\frac{x}{24 + x} = \frac{1}{17}$ .
$17x = 24 + x$ , откуда $16x = 24$ , значит $x = 1,5$ .
Таким образом, $BK = 1,5$ , а $AK = 24 + 1,5 = 25,5$ .

3) Окружность проходит через точки $A$ и $B$ , значит, прямая $AK$ является секущей для этой окружности. Прямая $CD$ (или $KD$ ) касается окружности в некоторой точке, обозначим её $M$ . По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки:
$KM^2 = KB \cdot KA$ .
$KM^2 = 1,5 \cdot 25,5 = 1,5 \cdot (1,5 \cdot 17) = 1,5^2 \cdot 17$ .
$KM = 1,5\sqrt{17}$ .

4) Введём систему координат с началом в точке $K$ . Пусть луч $KA$ лежит на оси $Ox$ , а луч $KD$ — на оси $Oy$ (так как $\angle AKD = 90^\circ$ ).
Тогда координаты точек: $A(25,5; 0)$ , $B(1,5; 0)$ , $M(0; 1,5\sqrt{17})$ .
Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$ . Так как окружность проходит через $A$ и $B$ , её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ .
$x_0 = \frac{1,5 + 25,5}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ .
Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра $O$ до точки $M$ . Поскольку $KD$ (ось $Oy$ ) является касательной, радиус, проведённый в точку касания $M$ , перпендикулярен ей. Значит, отрезок $OM$ параллелен оси $Ox$ , и координата $y_0$ центра совпадает с ординатой точки касания: $y_0 = 1,5\sqrt{17}$ .
Тогда радиус равен расстоянию от точки $O(13,5; 1,5\sqrt{17})$ до точки касания $M(0; 1,5\sqrt{17})$ :
$R = |x_0 - 0| = 13,5$ .

Ответ: 13,5

Источник: ФИПИ