Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKD$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle KAD + \angle KDA = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

2) Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные). Запишем отношение подобия:
$\frac{BK}{AK} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$.
Подставим известные значения оснований: $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{34} = \frac{1}{17}$.
Пусть $BK = x$, тогда $AK = AB + BK = 24 + x$.
Из подобия имеем: $\frac{x}{24 + x} = \frac{1}{17}$.
$17x = 24 + x$, откуда $16x = 24$, значит $x = 1,5$.
Таким образом, $BK = 1,5$, а $AK = 24 + 1,5 = 25,5$.

3) Окружность проходит через точки $A$ и $B$, значит, прямая $AK$ является секущей для этой окружности. Прямая $CD$ (или $KD$) касается окружности в некоторой точке, обозначим её $M$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки:
$KM^2 = KB \cdot KA$.
$KM^2 = 1,5 \cdot 25,5 = 1,5 \cdot (1,5 \cdot 17) = 1,5^2 \cdot 17$.
$KM = 1,5\sqrt{17}$.

4) Введём систему координат с началом в точке $K$. Пусть луч $KA$ лежит на оси $Ox$, а луч $KD$ — на оси $Oy$ (так как $\angle AKD = 90^\circ$).
Тогда координаты точек: $A(25,5; 0)$, $B(1,5; 0)$, $M(0; 1,5\sqrt{17})$.
Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$. Так как окружность проходит через $A$ и $B$, её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.
$x_0 = \frac{1,5 + 25,5}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$.
Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра $O$ до точки $M$. Поскольку $KD$ (ось $Oy$) является касательной, радиус, проведённый в точку касания $M$, перпендикулярен ей. Значит, отрезок $OM$ параллелен оси $Ox$, и координата $y_0$ центра совпадает с ординатой точки касания: $y_0 = 1,5\sqrt{17}$.
Тогда радиус равен расстоянию от точки $O(13,5; 1,5\sqrt{17})$ до точки касания $M(0; 1,5\sqrt{17})$:
$R = |x_0 - 0| = 13,5$.

Ответ: 13,5

Источник: ФИПИ